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chsigen 
272—275 (1855)]. 
iachsigen Koordi- 
vird der konkave 
und OM' durch. 
cos b cos c — cosa) 
cos a cos b — cos c) 
d MOX, MOY, 
Winkel M'OX, 
j I 
:os b cos c. 
daß drei solche 
'■os c — cos a) 
> — cos c) = D 
i die Gleichungen 
OM, OM\ OM” 
n, sind folgende 
Y = 0, 
"y = 0, 
y = 0. 
Sie sind auch hinreichend zu diesem Zwecke, wenn angenommen 
wird, daß das erste System rechtwinklig sei. 
Der in der Überschrift angekündigte Satz besteht nun darin, 
daß diese letztere Beschränkung weggelassen werden darf, indem 
die Gleichungen (4) unzweifelhaft ausdrücken, daß beide Systeme 
durchaus rechtwinklig sein müssen. Der Beweis dieses merk 
würdigen Theorems bildet den Gegenstand des gegenwärtigen Auf 
satzes. 
Zunächst mögen hier ohne weiteren Beweis die bekannten Fol 
gerungen aus den Gleichungen (4) Platz finden, nämlich: 
i aa 
■f aa = 
1, 
ßy 
+ ß'y' 
+ ß"v" 
= o, 
(5) 
ßß 
+ ß'ß' + ßTß" = 
1, 
ya 
+ yd 
+ y'a" 
= o, 
l yy 
_J__ y y y y ■ ■— 
1, 
aß 
+ dß’ 
+ d'ß" 
= 0, 
und 
1 
\ß'y"— 
Qft f / fr 
ß y = ecc, y a 
n i 
y a - 
= «/5, 
aß” - 
- a"ß' = 
£ y> 
(6) 
ß"y — 
ßy = sa, y a 
ii 
ya = 
= 8ß\ 
aß - 
-aß” = 
£ y\ 
1 
' ßy — 
ß y = sa , ya 
■ y'a = 
= 8ß", 
aß' - 
- d ß ~ 
£ y"-. 
wo bekanntlich ee = 1 ist. 
Die ternäre quadratische Form 
F = xx -f- yy -(- zz + 2 yzcosa -}- ‘Izxcosb -f 2 xycosc, 
[welche bekanntlich das Quadrat der Entfernung eines beliebigen 
Punktes (xyz) von dem Nullpunkte 0 des Koordinatensystems OXYZ 
ausdrückt] hat zur Determinante den oben (2) mit D bezeichneten 
Ausdruck (das Quadrat des Volumens des von den drei Achsen 
OX = OY = OZ =1 als Kanten gebildeten Parallelepipedums) 
und zur adjungierten Form: 
F 1 = xx sin a 2 -f- yy sin b 2 -j- zz sin c 2 + 2 yz (cos b cos c — cos d) 
-f- 2 zx(cos c cosa — cos b) -j- 2 xy (cosa cos b — cos c). 
Es ist dann bekanntlich die Determinante von F x das Quadrat der 
von .F, also = PP, und die adjungierte Form F 2 von F x ist = DF. 
Wenn man folgende Bezeichnung einführt: 
x x sin a 2 -J- yy' sin b 2 + zz' sin c 2 -f {yz' -f- z y') cos b cos c — cosa) 
-f- (z x' -f - xz') {cos ccosa — cos b) 4- {x y' -f y x’) {cos a cos b — cos c) 
Bedekind, Gesammelte Werke, I. 
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