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bleibt, welchen der beiden Werte von u, die den obigen Gleichungen
genügen, man zu wählen habe. Dies soll hier geschehen.
Man verfährt mit der meisten Symmetrie, wenn man (i aus den
Gleichungen für q und w, und ebenso A aus den Gleichungen für
p und u eliminiert. Dies gibt
(1) u — ßq — (1 — /3)Aa, u — ap = (1—oi)fiß,
und wenn man diese Werte von Aoc, ß in die Gleichung für u
substituiert, so erhält man eine quadratische Gleichung, durch deren
Auflösung sich
(2) u = |(1 —aß -f«p + ßq — Q)
ergibt, worin q die noch zweideutige Quadratwurzel aus
QQ = (1 — aß + + ß# — 4(1 — ß)ap,
— 4(1 —oi)ßq — kap-ßq
ist. Damit aber die Aufgabe lösbar sei, ist nötig: zuerst, daß q
reell, und weiter, daß u (als eine Wahrscheinlichkeit) ein positiver
echter Bruch sei. Aber auch dies ist noch nicht genügend; und
darin liegt eigentlich das Hauptinteresse der ganzen Aufgabe. Sie
würde immer noch ohne Sinn bleiben, wenn die Hilfswahrscheinlich
keiten A, nicht ebenfalls zwischen den Grenzen 0 und 1 enthalten
wären, und es ist klar, daß mit diesen letzten Bedingungen auch
zugleich die ersten erfüllt werden müssen. Es kommt daher nur
darauf an, die Bedingungen aufzustellen, welche ausdrücken, daß A, p
nicht außerhalb der genannten Grenzen liegen. Dies ist leicht, da
man die Werte A, p aus den Gleichungen (I) erhält, wenn man in
ihnen für u den in (2) gefundenen Ausdruck substituiert. Bei dieser
Untersuchung kommt man auf die folgenden Gleichungen:
qq = (I — 2 a aß ap — ßq) 2 + 4«(1 — a)(l — ß)(l — p)
= (1 - 2 ß + aß - ap + ßq) 2 + 4/3 (1 - ß) (1 - a) (1 - q)
= (1 — aß + ap— ßq) 2 — 4a(l — ß){p — ßq)
— {l — aß — ap+ ßq) 2 — ±ß{\ — a) (.q — ap).
Aus den beiden ersten Formen für qq geht hervor, daß es keiner
besonderen Bedingung für die Realität von q bedarf. Setzt man aber
die Formen in Verbindung mit den Forderungen für A, ft, so ergibt
sich, daß in dem Ausdrucke (2) für u stets die positive Quadrat
wurzel für q genommen werden muß. Vergleicht man endlich die
beiden letzten Formen für qq mit den Forderungen für A und ¿i, so
