nnd hieraus folgt, daß die Norm immer eine positive rationale Zahl 
ist und nur dann verschwindet, wenn a — 0, also x ~ 0 und y — 0 
ist. Da ferner (aß)' — a ß\ also 
(aß) (aß)' = (aa')(ßß') 
ist, so ergibt sich der Satz: 
N(aß) = N(a)N(ß\ 
d. h. die Norm eines Produktes ist gleich dem Produkte aus den 
Normen der Faktoren; und ein ganz ähnlicher Satz gilt offenbar auch 
für die Quotienten. 
Wir teilen nun alle Zahlen des Körpers J in zwei große Klassen 
ein; eine solche Zahl co = x + yi soll eine ganze komplexe oder- 
kürzer eine ganze Zahl heißen, wenn ihre beiden Koordinaten x, y 
ganze rationale Zahlen sind; ist aber mindestens eine der beiden 
Koordinaten eine gebrochene Zahl, so soll auch o eine gebrochene 
Zahl heißen. Offenbar bilden die ganzen rationalen Zahlen x einen 
Teil des Systems aller ganzen komplexen Zahlen, und umgekehrt ist 
jede ganze komplexe Zahl x -f- yi, wenn sie zugleich rational ist, 
notwendig eine ganze rationale Zahl x. Unter einer natürlichen 
Zahl verstehen wir nach altem Herkommen immer eine positive, 
also von Null verschiedene, ganze rationale Zahl. 
Aus den obigen Formeln für die Summe, Differenz und das 
Produkt zweier in J enthaltenen Zahlen leuchtet nun zunächst ein, 
daß unsere ganzen Zahlen sich durch Addition, Subtraktion und Multi 
plikation reproduzieren. Die Analogie mit der Theorie der rationalen 
Zahlen veranlaßt uns daher, den Begriff der Teilbarkeit einzuführen: 
die ganze Zahl a heißt teilbar durch die ganze Zahl /3, wenn a = ßy, 
und y ebenfalls eine ganze Zahl ist; zugleich heißt a ein Vielfaches 
oder Multiplum von /3, und ß ein Teiler oder Divisor oder Faktor 
von «, oder man sagt auch, ß gehe in a auf. Aus dieser Erklärung, 
durch welche der Begriff der Teilbarkeit für rationale ganze Zahlen 
nicht geändert wird, ergeben sich (wie in § 3) die beiden folgenden 
Elementarsätze: 
I. Sind a und ß teilbar durch ¿a, so sind auch die Zahlen 
« -j- ß und a — ß teilbar durch y. Denn aus a — ya x und 
ß z= yß t folgt a + /3 = y(a 1 + ß 1 ), und da « 1? ß x ganze Zahlen sind, 
so gilt dasselbe auch von den Zahlen oc, + ß v