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;ionaie Zahl 
und y = 0 
II. Ist % teilbar durch A, und A teilbar durch y, so ist 
auch v. teilbar durch y. Denn aus % — al und A = ßy folgt 
x = (aß)y, und da a und ß ganze Zahlen sind, so ist auch aß eine 
ganze Zahl. 
Ist co — x -j- yi eine ganze Zahl, so ist offenbar die konjugierte 
Zahl co' = x — yi ebenfalls eine ganze Zahl, und folglich ist N (co) 
teilbar durch co. Diese Norm ist immer eine natürliche Zahl, wenn 
te aus den 
ienbar auch 
co von Null verschieden ist, und aus dem Satze über die Norm eines 
Produktes ergibt sich der folgende, welcher aber nicht umgekehrt 
werden darf: 
oße Klassen 
plexe oder 
inaten ar, y 
der beiden 
äbrochene 
Ist a teilbar durch /3, so ist Ni(a) auch teilbar durch N(ß). 
Unter einer Einheit wird jede ganze Zahl s verstanden, welche 
ein Divisor der Zahl 1 ist und folglich auch in allen ganzen Zahlen 
auf geht; nach dem vorstehenden Satze muß N (s) in N (1), d. h. in 
der Zahl 1 aufgehen, und folglich muß 
3n x einen 
gekehrt ist 
ational ist, 
.türlichen 
positive, 
N(e) = 1, d.h. se' = 1 
sein; und umgekehrt leuchtet ein, daß jede ganze Zahl £, deren 
Norm = 1 ist, gewiß eine Einheit ist. Setzt man nun 8 ~ x -f yi, 
so ist x 2 + y 1 — 1, und da x, y ganze rationale Zahlen sind, so 
ist entweder x 2 = 1 und y = 0, oder x = 0 und y 2 = 1; man 
erhält daher die folgenden vier Einheiten 
z und das 
nächst ein, 
und Multi- 
■ rationalen 
inzuführen: 
in a — ß y, 
Vielfaches 
der Faktor 
Erklärung, 
nze Zahlen 
folgenden 
8 1, 1, 
welche man auch in der Form 
8 = i n 
zusammenfassen kann, wo n eine beliebige ganze rationale Zahl be 
deutet. In der Theorie der rationalen Zahlen gibt es nur zwei Ein 
heiten, nämlich die Zahlen + E 
Sind zwei ganze, von Null verschiedene Zahlen cc, ß gegenseitig 
durch einander teilbar, so sind die Quotienten 
— und ^ 
a ß 
ganze Zahlen, und da ihr Produkt = 1 ist, so sind sie notwendig 
Einheiten, mithin ist ß — cc£, wo 8 eine Einheit; umgekehrt, wenn 
ie Zahlen 
- y a x und 
ahlen sind, 
dies der Fall ist, so ist auch a = ße\ also ist jede der beiden 
Zahlen a, ß durch die andere teilbar. Zwei solche Zahlen heißen 
assoziierte Zahlen, und es leuchtet ein, daß je vier assoziierte 
Zahlen 
«, — a. — ai