9 
?n rationalen 
Zwei ganze 
in ohne ge 
eiten keinen 
zwei ganze 
iichnng, daß 
ganze Zahl, 
adig Divisor 
imzahl zu cc 
bl zu cc ist, 
nden: 
imzahl zu 
dden Pro- 
ie folgenden 
bar durch 
ar beiden 
r Produkt 
Zahl n zu 
n entweder 
cc eine be- 
i folgenden 
ihl je, oder 
ischaftliche 
% oder eine 
us offenbar 
ilen cc, ß, 
indestens 
Jede ganze, von Null verschiedene Zahl cc ist nun entweder eine 
Einheit, oder eine Primzahl, oder sie besitzt mindestens einen Divisor 
ß, welcher weder eine Einheit, noch mit cc assoziiert ist; in diesem 
letzten Falle heißt cc eine zusammengesetzte Zahl, und wenn 
a = ßl gesetzt wird, so ist auch l keine Einheit, und da N (cc) 
= N (ß) N (A) ist, so ergibt sich N (cc)^> N {ß)^> l, weil die vier 
Einheiten die einzigen Zahlen sind, deren Norm = 1 ist. Hieraus 
folgt leicht (vgl. § 8), daß mindestens eine in cc aufgehende Primzahl 
existiert; denn wenn ß noch keine Primzahl, mithin eine zusammen 
gesetzte Zahl ist, so besitzt sie wieder einen Divisor y, der der Be 
dingung N (ß)i> N (y)> 1 genügt, und wenn y noch keine Primzahl 
ist, so kann man in derselben Weise so lange fortfahren, bis in 
der Reihe der Zahlen cc, ß, y ... eine Primzahl je auftritt, was nach 
einer endlichen Anzahl von Zerlegungen geschehen muß, weil die 
Reihe der beständig abnehmenden natürlichen Zahlen N (cc), N (ß), 
N (y) ... notwendig einmal abbrechen wird. Offenbar ist nun cc teil 
bar durch tc und folglich von der Form jtcc v wo cc x entweder eine 
Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist; im letzteren Falle 
kann man wieder cc x = 7t 1 cc 2 , also cc = tctc 1 cc 2 setzen, wo tc x eine 
Primzahl bedeutet, und wenn cc 2 noch keine Primzahl, sondern eine 
zusammengesetzte Zahl ist, so kann man in derselben Weise fort 
fahren, bis in der Reihe der Zahlen a v cc 2 ... eine Primzahl a n = n n 
auftritt, was, wie sich abermals aus der Betrachtung der Normen 
ergibt, nach einer endlichen Anzahl von Zerlegungen geschehen muß. 
Dann ist die zusammengesetzte Zahl 
05 JT 7t^ • • • 
dargestellt als ein Produkt von n -f 1 Faktoren, welche sämtlich 
Primzahlen sind. Gesetzt nun, dieselbe Zahl cc sei auch ein Produkt 
aus m + 1 Primzahlen q, q 2 ... Q m , also 
7t7t x JT 2 . . . 7C n Q Qi . Q m , 
so muß nach dem oben bewiesenen Satze die in diesem Produkte cc 
aufgehende Primzahl n notwendig in einem der Faktoren p, q v 
Q 2 ...Q m , z. B. in q auf gehen; da aber q ebenfalls eine Primzahl 
ist und folglich außer den Einheiten nur solche Divisoren besitzt, 
welche mit q assoziiert sind, so muß % = eq sein, wo s eine Einheit 
bedeutet, und hieraus folgt durch Division mit p die Gleichung 
£7t x 71% . . . 7C n QiQ^ • • • Qm'i