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4. Bekanntlich lassen sich die Begriffe der Teilbarkeit und des
Vielfachen von den ganzen rationalen Zahlen unmittelbar auf die
ganzen rationalen Funktionen übertragen, und es gibt einen Algorithmus
zur Auffindung des größten gemeinschaftlichen Divisors cp(x) zweier
gegebenen Funktionen F (x), f (x), welcher demjenigen der Zahlen
theorie (§ 4) vollständig analog ist. Sind die Koeffizienten von F (x)
und f(x) sämtlich in einem Körper K enthalten, so werden auch die
Koeffizienten von cp {x) Zahlen des Körpers K sein, weil sie durch
Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division aus den Koeffi
zienten von F (a;) und / (x) entstehen. Hieraus folgt leicht, daß, wenn
a die Wurzel einer solchen Gleichung F (a) = 0 ist, deren Koeffi
zienten Zahlen des Körpers K sind, notwendig auch eine solche
Gleichung gj(o:) = 0 von niedrigstem Grade existieren muß,
welche irreduktibel in K heißen soll und welche offenbar keine
anderen Wurzeln besitzen kann als die Gleichung F (os) = 0. Hieraus
folgt der Satz:
Ist cc eine ganze Zahl, und K ein bestimmter Körper,
so sind alle Koeffizienten der in K irreduktiblen Gleichung
<p(«) = 0 ganze Zahlen.
Denn weil a eine ganze Zahl, also die Wurzel einer Gleichung
F (a) = 0 ist, deren Koeffizienten rationale ganze Zahlen und folglich
auch Zahlen des Körpers K sind (§ 159), so kann die in K irreduk-
tible Gleichung cp (<a) = 0, welcher a genügt, nur ganze Zahlen zu
Wurzeln haben; da aber die Koeffizienten einer Gleichung durch
Addition und Multiplikation aus ihren Wurzeln entstehen, so sind
(zufolge 1.) auch die Koeffizienten der Gleichung cp (a) = 0 ganze
Zahlen, was zu beweisen war.
Der einfachste Fall, in welchem K der Körper der rationalen
Zahlen ist, findet sich bei Gauß*).
5. Ist q irgendeine algebraische Zahl, so gibt es immer
unendlich viele (von Null verschiedene) rationale ganze
Zahlen h von der Beschaffenheit, daß Tiq eine ganze Zahl
wird, und zwar stimmen diese sämtlichen Zahlen h mit den
sämtlichen rationalen Vielfachen der kleinsten unter ihnen
überein.
*) D. A. art. 42.
