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§ 162. 
Wir beschränken uns von jetzt an auf die Untersuchung der 
ganzen Zahlen, welche in einem endlichen Körper £1 (§ 159) ent 
halten sind. 
1. Da jede algebraische Zahl (zufolge § 160, 5.) durch Multi 
plikation mit einer rationalen ganzen von Null verschiedenen Zahl in 
eine ganze Zahl verwandelt werden kann, so dürfen wir annehmen, 
daß die Zahlen coj, co 2 , ..., to n , welche eine Basis des Körpers £i 
bilden, sämtlich ganze Zahlen sind, und es wird dann (zufolge 
§ 160, 1.) jede Zahl 
(1) co — 2 h L co t 
gewiß eine ganze Zahl sein, wenn ihre Koordinaten h l rationale ganze 
Zahlen sind; aber dies läßt sich im allgemeinen nicht umkehren, d. h. 
es kann co sehr wohl eine ganze Zahl sein, auch wenn ihre Koordinaten 
teilweise oder sämtlich gebrochene Zahlen sind. Dies ist einer der 
wichtigsten Punkte der Theorie und muß deshalb vor allem auf 
geklärt werden. 
Wir schicken zunächst die einleuchtende Bemerkung voraus, daß 
die Diskriminante [§ 159, (10)] eines jeden Systems von n un 
abhängigen ganzen Zahlen gewiß eine von Null verschiedene rationale, 
und zwar ganze Zahl ist, weil sie durch Addition, Subtraktion und 
Multiplikation aus lauter ganzen Zahlen gebildet ist. Gibt es nun 
wirklich in £1 eine ganze Zahl 
(2) 
wo s, kj, fc 2 , ..., k n ganze rationale Zahlen ohne gemeinschaftlichen 
Teiler bedeuten, deren erste s^> 1 ist, so behaupten wir, daß s 2 in 
der Diskriminante z/(to n co 2 , ..., co n ) aufgeht, und daß man eine 
neue Basis von ganzen Zahlen /3 X , ß 2 , ..., ß n aufstellen kann, deren 
Diskriminante absolut genommen <C (co x , co 2 , ..., co n ) ist. 
Um dies zu beweisen, bezeichnen wir mit m den aus allen durch 
s teilbaren ganzen Zahlen bestehenden Modul, ebenso mit o das System 
aller Zahlen co von der Form (1), deren Koordinaten h L ganze Zahlen 
sind; da jedes Produkt s co eine Zahl des Moduls m ist, so können 
wir die allgemeine Untersuchung des vorigen Paragraphen auf unsern