246
Fall anwenden. Alle durch s teilbaren Zahlen u. des Systems o sind
daher von der Form
. a = E x t a L = s E x t ß n
wo die n Zahlen a L = s ß L partikuläre Zahlen a, also die ß t ganze
Zahlen des Körpers Si, und die x t willkürliche rationale ganze Zahlen
bedeuten.
Da nun alle Zahlen sca auch solche Zahlen cc sind, so kann man
03,. — Ebi r) ß t , gj 2 , co n ) = b 2 /1 (ß x , ß 2 , ..., ß n )
setzen, wo die Koeffizienten b[ r) rationale ganze Zahlen sind und b
die aus ihnen gebildete Determinante bedeutet; durch Umkehrung
ergibt sich, daß die n Produkte b ß t , mithin auch alle Quotienten
bcc:s Zahlen des Systems o sind.
Wenden wir dies Resultat auf die obige Voraussetzung (2) an,
daß die Zahl ß eine ganze Zahl, ihr Zähler Ek l a l also eine Zahl
a ist, obgleich die Zahlen s, h x , k 2 , ..., k n keinen gemeinschaftlichen
Teiler haben, so folgt unmittelbar, daß b durch s teilbar ist, wo
durch zugleich die obigen Behauptungen erwiesen sind.
Da nun die Diskriminante eines jeden Systems von n unab
hängigen ganzen Zahlen des Körpers £i eine von Null verschiedene
ganze rationale Zahl ist, so gibt es unter allen diesen Diskriminanten
eine solche, deren Wert — abgesehen vom Vorzeichen — ein Mini
mum ist, und aus der vorstehenden Untersuchung folgt unmittelbar,
daß, wenn eine Basis aus solchen ganzen Zahlen co 1 , co 2 , co n
besteht, deren Diskriminante diesen Minimumwert besitzt, die ent
sprechenden Koordinaten h L einer jeden ganzen Zahl oj des Körpers
notwendig ganze rationale Zahlen sein müssen. Eine solche Basis
tOn to 2 , co n wollen wir eine Grundreihe des Körpers £1 nennen;
aus ihr ergeben sich alle anderen Grundreihen desselben Körpers,
wenn man n ganze Zahlen co von der Form (1) so wählt, daß
die aus den n 2 zugehörigen Koordinaten gebildete Determinante
= rl wird.
Die wichtigste Rolle spielt aber die Minimaldiskriminante selbst,
sowohl hinsichtlich der inneren*) Konstitution des Körpers Si, als
*) Vgl. Kronecker: Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen
(Monatsbericht der Berliner Ak. 14. April 1856).
