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eine vollkommen bestimmte ist, sondern daß mehrere wesentlich ver 
schiedene Zerlegungen derselben Zahl in unzerlegbare Faktoren exi 
stieren (§ 160, 6.). Dies widerspricht so sehr dem in der rationalen 
Zahlentheorie herrschenden Begriffe des Primzahlcharakters (§ 8), daß 
wir deshalb eine unzerlegbare Zahl als solche noch nicht als Primzahl 
anerkennen wollen; wir suchen daher für den wahren Primzahlcharakter 
ein kräftigeres Kriterium als diese unzulängliche Unzerlegbarkeit auf 
zustellen, ähnlich wie früher bei dem Begriffe der relativen Primzahl 
(§ 160, 7.), indem wir die zu untersuchende Zahl ft nicht zerlegen, 
sondern ihr Verhalten als Modul betrachten: 
Eine ganze Zahl ft, welche keine Einheit ist, soll eine 
Primzahl heißen, wenn jedes durch ft teilbare Produkt tj p 
wenigstens einen durch ft teilbaren Faktor rj oder p besitzt. 
Es ergibt sich dann sofort, daß die höchste in einem Produkte 
aufgehende Potenz einer Primzahl ft das Produkt aus den höchsten 
in den einzelnen Faktoren auf gehenden Potenzen von ft, und daß 
jede durch ft nicht teilbare Zahl relative Primzahl zu ¡a ist. Man 
erkennt ferner leicht, daß die kleinste durch ft teilbare rationale 
ganze Zahl p notwendig eine Primzahl (im Körper der rationalen 
Zahlen), und folglich die Norm von ft eine Potenz von p, nämlich 
ein rationaler Divisor von N (p) = p n sein muß. Es werden daher 
gewiß alle Primzahlen ft des Körpers entdeckt, wenn die Divisoren 
aller rationalen Primzahlen p aufgesucht werden. 
5. Ist aber ft keine Primzahl (und auch keine Einheit), existieren 
also zwei durch ft nicht teilbare Zahlen rj, p, deren Produkt rj p durch 
ft teilbar ist, so schreiten wir zu einer Zerlegung von ft in wirkliche 
oder ideale, d, h. fingierte Faktoren. Gibt es nämlich in o einen 
größten gemeinschaftlichen Teiler v der beiden Zahlen rj und ft = 
v ja', der Art, daß die Quotienten rj : v und ¡a: v relative Primzahlen 
sind, so ist ft in die beiden Faktoren v und ft' zerlegt, von denen 
keiner eine Einheit ist, weil weder p noch rj durch ft teilbar ist. 
Der Faktor ft' ist wesentlich dadurch bestimmt, daß alle Wurzeln cc' 
der Kongruenz Tja = 0 (mod ft) durch ft' teilbar sind (z. B. auch 
a — p), und daß ebenso jede durch ft' teilbare Zahl a auch der 
vorstehenden Kongruenz genügt. Umgekehrt, gibt es in o eine Zahl ft', 
welche in allen Wurzeln a der Kongruenz rja = 0 (mod ft) und nur in 
diesen aufgeht, so ist auch ft teilbar durch ft', und der Quotient v = ft: ft' 
ist der größte gemeinschaftliche Teiler der beiden Zahlen rj und ft.