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Aber es kann sehr wohl der Fall eintreten, daß in o keine 
solche Zahl p zu finden ist; als nun diese Erscheinung (bei den aus 
Einheitswurzeln gebildeten Zahlen) Kummer entgegentrat, so kam 
er auf den glücklichen Gedanken, trotzdem eine solche Zahl ft' zu 
fingieren und dieselbe als ideale Zahl einzuführen; die Teilbarkeit 
einer Zahl cc durch diese ideale Zahl ft' besteht lediglich darin, daß 
a eine Wurzel der Kongruenz rja=0 (mod ft) ist, und da diese 
idealen Zahlen in der Folge immer nur als Teiler oder Moduln auf- 
treten, so hat diese Art ihrer Einführung durchaus keine Bedenken. 
Allein die Befürchtung, daß die unmittelbare Übertragung der bei 
den wirklichen Zahlen üblichen Benennungen auf die idealen Zahlen 
im Anfang leicht Mißtrauen gegen die Sicherheit der Beweisführung 
einfiößen könnte, veranlaßt uns, die Untersuchung dadurch in ein 
anderes Gewand einzukleiden, daß wir immer ganze Systeme von 
wirklichen Zahlen betrachten. 
§163. 
Wir gründen die Theorie der in 0 enthaltenen Zahlen, d. h. aller 
ganzen Zahlen des Körpers ii, auf den folgenden neuen Begriff. 
1. Ein System a von unendlich vielen in 0 enthaltenen Zahlen 
soll ein Ideal heißen, wenn es den beiden Bedingungen genügt: 
I. Die Summe und die Differenz je zweier Zahlen in a sind 
wieder Zahlen in 0. 
II. Jedes Produkt aus einer Zahl in a und einer Zahl in 0 ist 
wieder eine Zahl in a. 
Ist k in a enthalten, so sagen wir, a sei teilbar durch a, a 
gehe in a auf, weil die Ausdrucks weise hierdurch an Leichtigkeit 
gewinnt. Wir nennen ferner zwei in 0 enthaltene Zahlen co, co', deren 
Differenz durch a teilbar ist, kongruent nach a (vgl. § 161), und 
bezeichnen dies durch die Kongruenz co = co' (mod a); solche Kon 
gruenzen dürfen (zufolge I.) addiert, subtrahiert und (zufolge II.) 
multipliziert werden, wie Gleichungen. Da je zwei einer dritten 
kongruente Zahlen auch einander kongruent sind, so kann man alle 
Zahlen in Klassen (mod a) einteilen, indem man je zwei kongruente 
Zahlen in dieselbe, je zwei inkongruente Zahlen in zwei verschiedene 
Klassen wirft; da nun, wenn ft eine von Null verschiedene Zahl in 
a bedeutet, je zwei nach ft kongruente Zahlen (zufolge II.) auch nach 
a kongruent sind — woraus zugleich folgt, daß a aus einer oder