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größte gemeinschaftliche Teiler b der Ideale a, b, weil jeder 
gemeinschaftliche Teiler von a, b in dem Ideale b auf geht*). 
Ist r die Anzahl der in b enthaltenen Zahlen, welche (mod a) 
inkongruent sind, so besteht b aus r Klassen (mod m), und b aus 
r Klassen (mod a); also ist N (m) = r N (b), N (a) = r N (b) und 
N (tu) N (b) = W(a)W(b). 
Ist b ein Hauptideal = i(q), so ist die Anzahl r der in b ent 
haltenen Zahlen ß — rj ca, welche (mod a) inkongruent sind, zugleich 
die Norm des aus allen Wurzeln q der Kongruenz tj p = 0 (mod a) 
bestehenden Ideals r, weil zwei Zahlen ca, ca' stets und nur dann 
kongruent (mod r) sind, wenn rj ca = rj ca' (mod a) ist. Mithin ist in 
diesem Falle N (a) — N (r) N (b). 
3. Ein von o verschiedenes Ideal p, welches keinen von o und 
p verschiedenen Teiler besitzt, soll ein Primideal heißen. Dann 
gilt folgender Satz; 
Ist rj q = 0 (mod p), so ist wenigstens eine der beiden 
Zahlen rj, q durch p teilbar. Ist nämlich tj nicht = 0 (mod p), 
so bilden die sämtlichen Wurzeln q der Kongruenz 7] q = 0 (mod p) 
offenbar ein in p aufgehendes Ideal, welches, da es die Zahl 1 nicht 
enthält, von 0 verschieden und folglich mit p identisch ist, was zu 
beweisen war. 
Dieser Satz ist charakteristisch für ein Primideal, da er sich 
folgendermaßen, umkehren läßt: Enthält jedes durch ein (von 0 
verschiedenes) Ideal p teilbare Produkt mindestens einen 
durch p teilbaren Faktor, so ist p ein Primideal. Ist nämlich 
q ein Teiler des Ideals p, aber verschieden von p, so gibt es in q 
eine nicht in p enthaltene Zahl oj; dann ist (zufolge der Annahme) 
auch keine der Potenzen ca 2 , ca 3 ... durch p teilbar; da aber nur 
eine endliche Anzahl von inkongruenten Zahlen (mod p) existiert, so 
muß einmal für zwei verschiedene Exponenten m und 
notwendig ca m + s = ca m (mod p), also das Produkt ca m (ca s — 1) durch 
p teilbar sein; da nun ca m nicht durch p teilbar ist, so muß (zufolge 
der Annahme) der andere Faktor ca* — 1 durch p, und folglich auch 
durch q teilbar sein; nun ist ca und, weil s > 0 ist, auch ca* = 0 
(mod q), mithin ist auch die Zahl 1 in q enthalten, also q = 0, was 
zu beweisen war. 
*)■ Die Erweiterung dieser Definitionen von m und b für mehr als zwei Ideale 
a, b ... liegt auf der Hand.