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Nennt man ein von o verschiedenes Ideal zusammengesetzt, 
wenn es kein Primideal ist, so läßt sich dieser Satz auch so aus 
sprechen: Ist a ein zusammengesetztes Ideal, so gibt es zwei 
durch a nicht teilbare Zahlen rj, q, deren Produkt rj q durch 
a teilbar ist. Wir beweisen ihn zum zweiten Male auf folgende 
Art. Es sei e ein von a und o verschiedener Teiler von a, so gibt 
es in e eine durch a nicht teilbare Zahl und der größte gemein 
schaftliche Teiler b von a und i (rj) ist teilbar durch e, also von o ver 
schieden, mithin ist W(b)>> 1. Das aus allen Wurzeln q der Kongruenz 
rj q = 0 (mod a) bestehende Ideal r ist ein Teiler von et, und da (zufolge 2.) 
N (a) = N (r) N (b) >> N (r) ist, so ist r verschieden von a und ent 
hält folglich eine durch a nicht teilbare Zahl p, was zu beweisen war. 
Es leuchtet nun ein, daß die kleinste (von Null verschiedene) 
rationale Zahl p, welche in einem Primideale p enthalten ist, not 
wendig eine Primzahl (im rationalen Zahlkörper) sein muß; da 
ferner p in t (p) auf geht, so ist N (p) ein Teiler von N (p) = p n , 
also ebenfalls eine Potenz pf der rationalen Primzahl £>, und man findet 
leicht (vgl. § 162, 3.), daß jede in o enthaltene Zahl ca der Kongruenz 
ca pf = ca (mod p) 
genügt*). Auch hat es keine Schwierigkeit, die allgemeinen Sätze 
der §§ 26, 27, 29, 30, 31 auf Kongruenzen in bezug auf den Modul p 
zu übertragen. 
*) Hierauf beruht das Eingreifen der Theorie der höheren Kongruenzen 
(vgl. § 26), welche zur Bestimmung der Primideale dient. Für die Körper vom 
Grade n = <p (m), welche aus den primitiven Wurzeln Q der Gleichung 0 m = 1 
entspringen, ist dieselbe zuerst ausgeführt, und zwar von Kummer, dem Schöpfer 
der Theorie der idealen Zahlen; den hierauf bezüglichen Teil seiner Untersuchungen 
findet man am vollständigsten zusammengestellt in den Abhandlungen: Mémoire 
sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité 
et de nombres entiers (Journ. de Math. p. p. Liouville, T. XVI, 1851). — 
Theorie der idealen Primfaktoren der komplexen Zahlen, welche aus 
den Wurzeln der Gleichung w n = 1 gebildet sind, wenn n eine zu 
sammengesetzte Zahl ist (Abh. der Berliner Ak. 1856). Das Hauptresultat 
ergibt sich mit größter Leichtigkeit aus unserer Theorie und lautet in unserer 
Ausdrucksweise folgendermaßen: Ist p eine rationale Primzahl und m' der größte 
durch p nicht teilbare Divisor von m — p' m', gehört ferner p zum Exponenten f 
(mod m'), WO g> (m') = ef (§ 28), so ist i(p) = (p 1 p 2 ... p e )^ (i,,) , wo p x , p 2 , 
..., p e voneinander verschiedene Primideale bedeuten, deren Normen = pf sind; 
wenn p' ~> 1, so ist i (1 — ö m ') = p 1 p 2 ...pe- — Für komplexe Zahlen einer 
höheren Stufe vgl. Kummer: Über die all gemeinen ßeziprozitätsgesetze 
unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine