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Ist das kleinste gemeinschaftliche Multiplum m der 
Ideale a, b, c, ... durch das Primideal p teilbar, so geht p 
wenigstens in einem der Ideale a, b,c, ... auf. Ist nämlich 
keins dieser Ideale durch p teilbar, gibt es also in a, b, c, ... 
bzw. Zahlen a, /3, y, ..., die nicht durch p teilbar sind, so ist das 
in a, b, c, ..., also auch in m enthaltene Produkt aßy ... nicht teil 
bar durch das Primideal p, und folglich geht p nicht in m auf, 
was zu beweisen war. 
Ist die Zahl rj nicht teilbar durch das Ideal a, so gibt 
es immer eine durch tj teilbare Zahl v der Art, daß alle 
Wurzeln 7t der Kongruenz vn = 0 (mod a) ein Primideal 
bilden. Alle Wurzeln ß der Kongruenz tj f3 = 0 (mod ci) bilden ein 
in a aufgehendes Ideal b, welches von o verschieden ist, weil es die 
Zahl 1 nicht enthält; ist b ein Primideal, so ist der Satz bewiesen. 
Ist b kein Primideal, gibt es also zwei durch b nicht teilbare Zahlen 
rj\ q\ deren Produkt rj’ q' = 0 (mod b) ist, so bilden alle Wurzeln y 
der Kongruenz y\ y = 0 (mod b), d. h. der Kongruenz rjrj' y = 0 
(mod a), ein in b aufgehendes Ideal c, und zwar ist (zufolge 2.) 
N (c) <C N (b), weil q' in c, aber nicht in b enthalten ist; außerdem 
ist c von o verschieden, weil rj' nicht in b und folglich die Zahl 1 
nicht in c enthalten ist; ist c ein Primideal, so ist der Satz bewiesen. 
Ist aber c kein Primideal, so kann man in derselben Weise fort 
fahren; endlich muß in der Reihe der Ideale b, c, b, deren 
Normen immer kleiner werden, aber stets j> 1 bleiben, ein Primideal 
p auftreten, welches aus allen Wurzeln % der Kongruenz vit = 0 
(mod a) besteht, wo v = rj rj' rj" ... durch rj teilbar ist. 
4. Ist p eine von Null verschiedene Zahl in o und keine Einheit, 
so existiert zufolge des zuletzt bewiesenen Satzes (in welchem man 
Primzahl ist (Abh. der Berliner Ak. 1859). — Für diejenigen Körper £2, deren 
konjugierte Körper mit £2 identisch sind, und welche ich Galoissche Körper 
nennen möchte, vgl. Selling: Über die idealen Primfaktoren der kom 
plexen Zahlen, welche aus den Wurzeln einer beliebigen irreduk- 
tibelen Gleichung rational gebildet sind (Schlömilchs Zeitschr. für Math, 
u. Phys. Bd. 10. 1865). — Ein spezieller Fall biquadratischer Körper ist voll 
ständig durchgeführt von Bachmann: Die Theorie der komplexen Zahlen, 
welche aus zwei Quadratwurzeln zusammengesetzt sind. 1867. — Für 
eine gewisse Klasse kubischer Körper vgl. Eisenstein: Allgemeine Unter 
suchungen über die Formen dritten Grades mit drei Yariabeln, 
welche der Kreisteilung ihre Entstehung verdanken (Grelles Journ. 
XXYIII).