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r] = 1 nehmen kann) jedenfalls eine Zahl v der Art, daß alle 
Wurzeln 7t der Kongruenz vti = 0 (mod fi) ein Primideal bilden; 
Primideale, welche aus den sämtlichen Wurzeln einer solchen Kon 
gruenz bestehen, wollen wir vorläufig einfache Ideale nennen. Ist 
nun r irgendein ganzer rationaler, nicht negativer Exponent, so 
bilden alle Wurzeln q der Kongruenz qv t = 0 (mod ¿i r ) ein Ideal, 
welches die rte Potenz von p heißen und mit p r bezeichnet werden 
soll. Diese Definition ist unabhängig von dem zur Definition von £ 
benutzten Zahlenpaar (i, v] ist nämlich irgendeine von Null ver 
schiedene, durch p teilbare Zahl, also v p = ¡iv', so folgt aus 
qv r = 0 (mod p, r ) durch Multiplikation mit ¡i' r und Division durch 
auch qv' t = 0 (mod und umgekehrt. Von der größten 
Wichtigkeit sind aber die folgenden Sätze über einfache Ideale 
Ist s r, so ist p s teilbar durch Ist nämlich 6 in p* ent 
halten, also 6 v s — x ¡i s , so folgt, daß 
eine ganze Zahl ist; mithin ist (nach § 160, 3.) der jedenfalls dem 
Körper £1 angehörige Quotient 6 v r : ¡x r ebenfalls eine ganze Zahl, 
also in o enthalten, weil o alle ganzen Zahlen des Körpers £i um 
faßt*); also ist jede Zahl ö des Ideals auch in p r enthalten. 
Ist q eine von Null verschiedene Zahl in o, so gibt es 
immer eine höchste in q aufgehende Potenz von }). Wäre 
nämlich für unendlich viele Exponenten r das Produkt q v r teilbar 
durch fi r . so müßte, da nur eine endliche Anzahl inkongruenter 
Zahlen (mod q) existiert, für zwei verschiedene solche Exponenten r 
s notwendig einmal 
werden, wo co eine ganze Zahl; hieraus würde aber (nach § 160, 3.) 
folgen, daß v durch p teilbar wäre, was nicht der Fall ist, weil 
sonst ^ = o wäre. 
Sind l> r , p* bzw. die höchsten in p, 6 aufgehenden Po 
tenzen, so ist p r + s die höchste in q 6 auf gehende Potenz von 1). 
*) Sobald diese Bedingung nicht erfüllt ist, verlieren auch die obigen Sätze 
ihre allgemeine Gültigkeit; dies ist von Wichtigkeit für die Erweiterung der 
Definition der Ideale (vgl. § 165, 4.).