259 
17* 
gibt immer (zufolge 4.) eine durch p e_1 , aber nicht durch a = p e 
teilbare Zahl 77; das aus allen Wurzeln q der Kongruenz rj q = 0 
(mod a) bestehende Ideal r ist verschieden von 0 (weil es die Zahl 1 
nicht enthält) und ein Teiler von p (zufolge 4.), folglich identisch 
mit 1); da ferner der größte gemeinschaftliche Teiler b der Ideale 
a = p e und i(rj) zufolge des eben bewiesenen Fundamentalsatzes 
= p e_1 ist, so folgt (aus 2.) N(a) = JV(r)JV(b), d. h. W(p e ) 
= N {$) N und hieraus allgemein N (p e ) = N (p) e . — Nun ist 
(zufolge der Definition 2.) das kleinste gemeinschaftliche Multiplum m 
der Ideale p e , p' e ', p" e ", ... zugleich auch das der Ideale o = p e 
und b, wo b das kleinste gemeinschaftliche Multiplum der Ideale 
p' e ', p" e ", ... bedeutet; da ferner (zufolge des Fundamentalsatzes) 0 
der größte gemeinschaftliche Teiler von a und b ist, so folgt (aus 2.) 
N (m) = N (a) N (b), d. h. N (m) = N (p) e N (b), und hieraus ergibt 
sich offenbar der zu beweisende Satz. 
6. Multipliziert man alle Zahlen eines Ideals a mit allen Zahlen 
eines Ideals b, so bilden diese Produkte und deren Summen ein durch 
a und b teilbares Ideal, welches das Produkt aus den Faktoren a 
und b heißen und mit ab bezeichnet werden soll. Aus dieser Er 
klärung leuchtet sofort ein, daß ao = a, ab = bo, ferner (ab)c 
= a(bc) ist (vgl. §§ 1, 2, 147). Zugleich gilt folgender Satz: 
Sind p a , p 6 bzw. die höchsten in 0, b aufgehenden Potenzen 
des Primideals p, so ist p a + ö die höchste in ab aufgehende 
Potenz von p; und es ist W(ob) = N (a) N (b). 
Aus der Erklärung folgt nämlich unmittelbar (mit Rücksicht 
auf 4.), daß ab durch p a + ö teilbar ist; da ferner in a eine durch 
pa+i n i c ht teilbare Zahl «, in b eine durch p ö + 1 nicht teilbare 
Zahl- ß existiert, so gibt es in ab eine durch p a + b + 1 nicht teilbare 
Zahl a ß, womit der erste Teil des Satzes bewiesen ist. Ist also a 
das kleinste gemeinschaftliche Multiplum der Potenzen p a , p' a ', p" a ",... 
der voneinander verschiedenen Primideale p, p', p", ..., und b das 
kleinste gemeinschaftliche Multiplum der Potenzen p 6 , p' 6 ', p' ,& ", ..., 
so ist ab dasjenige der Potenzen p a + ö , p' a ' + &r , p"a" + b", ^ woraus 
(mit Rücksicht auf 5.) auch der zweite Teil des Satzes folgt. 
Da aus diesem Satze auch p“ p & = p a + 6 folgt, so ist die oben 
(in 4.) gewählte Ausdrucks- und Bezeichnungsweise gerechtfertigt. 
Sind ferner p, p', p", ... voneinander verschiedene Primideale, so ist 
p a p' a 'p" a ” ... das kleinste gemeinschaftliche Multiplum der Potenzen