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p«, p' a ', p'' a ", ••• Auch leuchtet ein, daß der Begriff der Potenz 
durch die Definition a r + 1 = a a r auf jedes Ideal a ausgedehnt werden 
kann. Ist endlich a teilbar durch b, so gibt es immer ein und nur 
ein Ideal r der Art, daß a — rb wird; sind nämlich p a , die 
höchsten bzw. in o, b aufgehenden Potenzen eines Primideals p, so 
ist d <¡ a, und r ist das Produkt aus allen Potenzen $ a ~ d . Mit 
Rücksicht hierauf erkennt man leicht, daß die früheren Sätze (in 2.) 
sich jetzt einfacher aussprechen lassen. 
7, Wir nennen nun a und b relative Primideale, wenn ihr 
größter gemeinschaftlicher Teiler = o ist; ebenso soll rj relative 
Primzahl zum Ideal a heißen, wenn o und i(rj) relative Primideale 
sind. Es leuchtet dann ein, daß die Sätze der rationalen Zahlen 
theorie über relative Primzahlen sich leicht auf die Theorie der 
Ideale übertragen lassen; wir begnügen uns aber hier, folgenden 
wichtigen Satz zu beweisen (vgl. § 25): 
Sind a, b relative Primideale, und ja, v zwei gegebene 
Zahlen, so gibt es immer eine und nur eine Klasse von 
Zahlen r¡ (mod ab), welche den Bedingungen rj == ja (mod a), 
rj ~ v (mod b) genügen. Durchlaufen nämlich ja, v, r¡ vollständige 
Restsysteme bzw. für die drei Moduln a, b, ab, so entspricht jeder 
Zahl rj eine und nur eine Kombination ft, v der Art, daß ja = rj 
(mod a), v = rj (mod b) ist; entspräche ferner zwei verschiedenen 
Zahlen rj, rj' des Restsystems für den Modul ab eine und dieselbe 
Kombination ft, v, so wäre r¡ — r¡ teilbar sowohl durch o als durch b, 
also auch durch a b (weil a, b relative Primideale sind), mithin wäre 
yj =e 7]' (mod a b), was gegen die Voraussetzung streitet. Durchläuft 
daher rj alle seine Werte, deren Anzahl = N{ ob) — N (a) N (b) ist, 
so entstehen ebensoviele verschiedene Kombinationen ft, v\ und da 
genau ebensoviele verschiedene Kombinationen ft, v wirklich existieren, 
so muß auch umgekehrt jede Kombination ft, v einer Zahl rj ent 
sprechen, was zu beweisen war. 
Bedeutet xjj (a) die Anzahl der (mod o) inkongruenten relativen 
Primzahlen zu a, so ist ip(ab) = ip (a) jp (b). wenn a, b relative Prim 
ideale bedeuten. Ist ferner p ein Primideal, und e 1, so ist 
ip(p e ) = JV(p e ) — N(p e ~ 1 ) = N(p) 6-1 (W(p)— 1); denn, wenn 8 alle 
r durch p teilbaren und nach dem Modul inkongruenten Zahlen, 
wenn ferner y ein vollständiges Restsystem (mod p) durchläuft, so 
bilden die Zahlen y -f- 8 (zufolge 2.) ein vollständiges Restsystem