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(mod £ e ), und es ist N (p e ) = riV(p), also r — N (^ e ~ x ); nun ist 
aber eine solche Zahl y -f- d stets und nur dann relative Primzahl 
zu p e , wenn y nicht = 0 (mod p) ist, und folglich ist die Anzahl 
der Zahlen y -)- d, welche relative Primzahlen zu sind, gleich 
r(N (P) — 1), was zu beweisen war. 
Bedeutet p ein Primideal, so gibt es (zufolge 4.) immer eine 
Zahl A, welche durch p, aber nicht durch [) 2 teilbar ist, mithin auch 
eine Zahl A e , welche durch f e , aber nicht durch p e + 1 teilbar ist. 
Sind nun p, p', p", ... voneinander verschiedene Primideale, und 
haben A', A", ... ähnliche Bedeutung für p', p", ..., wie A für p, so 
existiert immer, wenn e, e', e", ... gegebene Exponenten bedeuten, 
eine Zahl yj, welche den gleichzeitigen Kongruenzen 
= A e (mod p e + 1 ), rj = A v (mod + 
rj = A'' e " (mod p"«" + i) ... 
genügt, weil die Moduln relative Primideale sind. Dann ist offenbar 
t(^) = mp e p'«'p" e " und das Ideal m ist durch keines der Prim 
ideale p, f', p", ••• teilbar. Hieraus folgt unmittelbar der Satz: 
Sind o, 6 zwei beliebige Ideale, so gibt es immer ein 
solches relatives Primideal m zu b, daß am ein Hauptideal 
wird. Sind nämlich p, p', p", ... alle voneinander verschiedenen in 
a b aufgehenden Primideale, und ist a = p' e ' p" e " ... (wo die Expo 
nenten e, e', e", ... auch = 0 sein können), so gibt es, wie eben 
gezeigt ist, ein durch o teilbares Hauptideal i(rj) = am der Art, daß 
b und m relative Primideale sind. 
Hieraus folgt auch, daß jedes Ideal a, welches kein Hauptideal 
ist, immer als der größte gemeinschaftliche Teiler von zwei Haupt 
idealen angesehen werden kann; hat man nämlich nach Belieben ein 
durch a teilbares Hauptideal i(rj') = ab gewählt, so kann man 
immer ein zweites t(rj) = am so wählen, daß b und m relative Prim 
ideale werden; die sämtlichen Zahlen des Ideals a sind dann von 
der Form rj ca -f- rj' ca', wo ca, ca' alle Zahlen in o durchlaufen. 
[Erläuterungen gemeinsam mit denen zu XLVI, XLVIII, XL1X am Schluß von XLIX.]