319 
negativen Wert hat. Im ersten Falle heißt a größer als 6, b kleiner 
als a, was anch durch die Zeichen a^>b, b <^a angedentet wird*). 
Da im zweiten Falle 6 — a einen positiven Wert hat, so ist 
a <ib. Hinsichtlich dieser doppelten Möglichkeit in der Art der 
Verschiedenheit gelten nun folgende Gesetze. 
I. Ist a>>6, und 6>>c, so ist a^>c. Wir wollen jedesmal, 
wenn a, c zwei verschiedene (oder ungleiche) Zahlen sind, und wenn 
b größer als die eine, kleiner als die andere ist, ohne Scheu vor dem 
Anklang an geometrische Vorstellungen dies kurz so ausdrücken: 
b liegt zwischen den beiden Zahlen a, c. 
II. Sind a, c zwei verschiedene Zahlen, so gibt es immer un 
endlich viele verschiedene Zahlen 6, welche zwischen a, c liegen. Ci * 
III. Ist a eine bestimmte Zahl, so zerfallen alle Zahlen des 
Systems R in zwei Klassen, A 1 und A 2 , deren jede unendlich viele 
Individuen enthält; die erste Klasse A x umfaßt alle Zahlen a v welche 
<^a sind, die zweite Klasse A 2 umfaßt alle Zahlen a 2 , welche a 
sind; die Zahl a selbst kann nach Belieben der ersten oder der 
zweiten Klasse zugeteilt werden, und sie ist dann entsprechend die 
größte Zahl der ersten oder die kleinste Zahl der zweiten Klasse. In 
jedem Falle ist die Zerlegung des Systems R in die beiden Klassen 
A v A 2 von der Art, daß jede Zahl der ersten Klasse A x kleiner als 
jede Zahl der zweiten Klasse A 2 ist. v 
§2- 
Vergleichung der rationalen Zahlen mit den Punkten einer 
geraden Linie. 
Die soeben hervorgehobenen Eigenschaften der rationalen Zahlen 
erinnern an die gegenseitigen Lagenbeziehungen zwischen den Punkten 
einer geraden Linie L. Werden die beiden in ihr existierenden ent 
gegengesetzten Richtungen durch „rechts“ und „links“ unterschieden, 
und sind p, q zwei verschiedene Punkte, so liegt entweder p rechts 
von q, und gleichzeitig q links von p, oder umgekehrt, es liegt q 
rechts von p, und gleichzeitig p links von q. Ein dritter Fall ist 
unmöglich, wenn p, q wirklich verschiedene Punkte sind. Hinsichtlich 
dieser Lagenverschiedenheit bestehen folgende Gesetze. 
*) Es ist also im folgenden immer das sogenannte „algebraische“ größer und 
kleiner Sein gemeint, wenn nicht das Wort „absolut“ hinzugefügt wird.