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L Liegt p rechts yon q, und q wieder rechts von r, so liegt 
auch p rechts von r\ und man sagt, daß q zwischen den Punkten 
p und r liegt. 
II, Sind p, r zwei verschiedene Punkte, so gibt es immer un 
endlich viele Punkte q, welche zwischen p und r liegen. 
III. Ist p ein bestimmter Punkt in L, so zerfallen alle Punkte 
in L in zwei Klassen, P v P a , deren jede unendlich viele Individuen 
enthält; die erste Klasse P, umfaßt alle die Punkte p v welche links 
von p liegen, und die zweite Klasse P 2 umfaßt alle die Punkte p^ 
welche rechts von p liegen; der Punkt p selbst kann nach Belieben 
der ersten oder der zweiten Klasse zugeteilt werden. In jedem Falle 
ist die Zerlegung der Geraden L in die beiden Klassen oder Stücke 
P 1? P 2 von der Art, daß jeder Punkt der ersten Klasse P x links von 
jedem Punkte der zweiten Klasse P 2 liegt. 
Diese Analogie zwischen den rationalen Zahlen und den Punkten 
einer Geraden wird bekanntlich zu einem wirklichen Zusammenhänge, 
wenn in der Geraden ein bestimmter Anfangspunkt oder Nullpunkt o 
und eine bestimmte Längeneinheit zur Ausmessung der Strecken ge 
wählt wird. Mit Hilfe der letzteren kann für jede rationale Zahl a 
eine entsprechende Länge konstruiert werden, und trägt man dieselbe 
von dem Punkte o aus nach rechts oder links auf der Geraden ab, 
je nachdem a positiv oder negativ ist, so gewinnt man einen be 
stimmten Endpunkt p, welcher als der der Zahl a entsprechende 
Punkt bezeichnet werden kann; der rationalen Zahl Null entspricht 
der Punkt o. Auf diese Weise entspricht jeder rationalen Zahl a, 
d. h. jedem Individuum in P, ein und nur ein Punkt p, d. h, ein 
Individuum in L. Entsprechen den beiden Zahlen a, b bzw. die beiden 
Punkte p, q, und ist a > 6, so liegt p rechts von q. Den Gesetzen 
I, II, III des vorigen Paragraphen entsprechen vollständig die Gesetze 
I, II, III des jetzigen. 
§3- 
Stetigkeit der geraden Linie. 
Yon der größten Wichtigkeit ist nun aber die Tatsache, daß es 
in der Geraden L unendlich viele Punkte gibt, welche keiner 
rationalen Zahl entsprechen. Entspricht nämlich der Punkt p der 
rationalen Zahl a, so ist bekanntlich die Länge o p kommensurabel 
mit der bei der Konstruktion benutzten unabänderlichen Längen