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bei der Entdeckung des Einzelnen geleitet und daß er nur der Kürze 
halber die synthetische Darstellung vorgezogen hat; namentlich lassen 
hierauf die gewichtigen Worte schließen (Art. 365): „omniquerigore 
demonstrare possumus, has aequationes elevatas nullo modo 
nec evitari nec ad inferiores reduci posse, etsi limites 
hujns operis hanc demonstrationem hic tradere non pati- 
antur, quod tarnen monendum esse duximus, ne quis adhuc 
alias sectiones praeter eas quas theoria nostra suggerit, 
e.g, in 7, 11, 13, 19 etc. partes, ad constructiones geometricas 
perducere speret, tempusque inutiliter terat u . Die Wahrheit 
der in denselben enthaltenen Behauptung ist nach dem gegenwärtigen 
Stande der Algebra, namentlich seit der Fortbildung und Verall 
gemeinerung der Gaußschen Gedanken durch Abel und Galois 
leicht zu beweisen. In der Tat ist aus dem von Gauß gelegten 
Keime eine Wissenschaft entstanden, welche man, um in einem 
Nichtkenner wenigstens eine dunkle Vorstellung von ihrem Charakter 
zu erwecken, vielleicht als die Wissenschaft von der algebraischen 
Verwandtschaft der Zahlen oder, wenn man sich eines von mir 
gewählten Ausdruckes bedienen will, als die Wissenschaft von der 
Verwandtschaft der Körper bezeichnen könnte. Es zeigt sich nämlich, 
daß die eigentümliche Beschaffenheit einer Gleichung, die Möglich 
keit, ihre Auflösung auf die von anderen Gleichungen zurückzuführen, 
erst dann deutlich erkannt werden kann, wenn man außer ihren 
Wurzeln noch unendlich viele andere Zahlen betrachtet, welche aus 
einer oder mehreren von ihnen rational ableitbar sind und deren 
Inbegriff eben das bildet, was ich einen Körper nenne, nämlich ein 
System von Zahlen, die sich durch die vier einfachsten, rationalen 
arithmetischen Operationen immer wieder reproduzieren. Eigen 
schaften einer Gleichung werden bei dieser Auffassung zu Eigen 
schaften des entsprechenden Körpers, Beziehungen zwischen Gleichungen 
stellen sich dar als Verwandtschaft zwischen den Körpern; namentlich 
entsteht bei gegenseitiger Durchdringung zweier Körper A, B immer 
wieder ein Körper, ihr kleinstes gemeinschaftliches Multiplum oder 
kürzer ihr Produkt A B, dessen Natur wesentlich von der Verwandt 
schaft der beiden Körper abhängt. 
Neben dieser Entwicklung der eigentlichen Algebra, welche der 
Theorie der Kreisteilung den ersten Impuls verdankt, und Hand in 
Hand mit ihr hat die Zahlentheorie einen großartigen Aufschwung