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Der Beweis beruht auf folgenden Momenten. Alle Wurzeln fi 
der Gleichung f(x) = U(x— ja) = 0 sind jedenfalls von der 
Form ja = a ß\ wo a, /3' primitive Einheitswurzeln bzw. vom 
Grade a, b bedeuten. So oft nun ß' mit ß identisch ist, wird 
(/3 — fi) = /3(1 — «'), also materiell, d. h. abgesehen von einem Ein- 
heitsfaktor, = (1 — a); ist dagegen ß' von ß verschieden, so wird 
(ß — ^) = ß(l—cc'ß"), wo ß" eine von 1 verschiedene Wurzel der 
Gleichung x b — 1 bedeutet, also ist zufolge der vorausgeschickten 
Bemerkungen (/3 — /a) eine Einheit. Mithin ist 
/ (/3) = II(ß — fi) = s (1 — a) n , 
wo e' eine Einheit, und n die Anzahl der Wurzeln fi = a ß' bedeutet, 
in welchen /3' = ß ist; es wird daher /(/3) stets und nur dann durch 
p = £ (1 — «)»(«) 
teilbar sein, wenn n — cp (a) ist, d. h. wenn wirklich alle cp (a) Pro 
dukte aß Wurzeln derselben in 22 irreduktiblen Gleichung f{x) = 0 
sind. Diese Teilbarkeit der Zahl /(/3) durch p läßt sich aber aus 
der Voraussetzung, daß die Grundzahl ¿/(¿2) des Körpers Si nicht 
durch p teilbar ist, folgendermaßen beweisen. Zunächst ist diese 
Voraussetzung identisch mit derjenigen, daß p durch kein Quadrat 
eines Primideals des Körpers 22 teilbar ist, und diese ist wiederum 
äquivalent mit der Annahme, daß unendlich viele solche Potenzen 
s = pf, £» 2/ , p sf ... 
der Primzahl p existieren, für welche jede ganze Zahl co des 
Körpers 22 der Kongruenz 
ca s = to(modp) 
genügt. Da nun die Koeffizienten der Funktion f{x) solche ganze 
Zahlen co sind, so folgt 
f(ß) s = f(ß s )( mod P); 
wählt man ferner, was immer möglich ist, die Potenz s der Prim 
zahl p so, daß s=l (mod ö), also ß s = /3, und zugleich s cp (a) 
wird, und bedenkt, daß /(/3) den Faktor (1—a) wenigstens einmal 
enthält, also /(/3)* durch p teilbar ist, so ergibt sich, daß auch 
f(ß) = O(modp) ist, wie zu beweisen war. 
Durch wiederholte Anwendung dieses Resultates ergibt sich 
offenbar der folgende Satz, welcher nur noch wenig allgemeiner als 
der von Kronecker ist;