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Satz 3: Man bezeichne mit N die Gruppe aller n in M ent 
haltenen Objekte, denen das Objekt 1 entspricht; so kann man 
M — N + N6' + Ne" d h JVTÖ^i-D 
setzen. Allen in einem Komplex NO = 6N enthaltenen n Objekten 
entspricht ein und dasselbe Objekt Ü 1 der Gruppe M v Die m l Kom 
plexe N, N', N", . ., A T(m i _1) gestatten bekanntlich wieder eine 
Komposition JV (p) N (q) = iV (r) . Diese m x Komplexe bilden daher 
eine Gruppe von m 1 Objekten, und offenbar entspricht jedem Kom 
plex NW ein Objekt 6^ der Gruppe M x in der Weise, daß jedem 
Produkte N&> N (q) das Objekt 0^ ß (q) der Gruppe M l entspricht. Und 
jedem Objekte 0 X der Gruppe M x entspricht ein Komplex N6 — 6 N, 
aber auch nur einer. 
Definitionen: Von zwei Gruppen wie M und M\ wollen wir 
sagen: die Art von M x ist unter der Art von M enthalten, die Art 
von M enthält die Art von M v — Ist daher N ein eigentlicher 
Divisor von M — N -p N’ + • •, so ist die Art der Gruppe der 
Komplexe JV, N\ etc. unter der Art von M enthalten. — Enthalten 
die Arten zweier Gruppen M und sich gegenseitig, so sollen 
diese beiden Gruppen äquivalent oder von derselben Art heißen. — 
Zwei äquivalente Gruppen haben stets denselben Grad; jedem Divisor 
der einen entspricht ein äquivalenter Divisor der andern. Sind zwei 
Gruppen einer dritten äquivalent, so sind sie untereinander äquivalent. 
— Sind M und M x äquivalent, so entspricht jedem in M enthaltenen 
Objekt 6 ein in M x enthaltenes Objekt Ö 1 auf die angegebene Weise; 
wir sagen, daß M durch die Substitution S 
i m;,;.') inM ‘ über - 
geht. Durch wieviel verschiedene Substitutionen geht M in M x über? 
Es sei T x das Symbol für alle Substitutionen, durch welche M x in 
sich selbst übergeht, S eine bestimmte Substitution, durch welche 
M in M x übergeht, so geht M durch sämtliche Substitutionen S T x 
in M x über; ebenso durch TS. Umgekehrt jede Substitution, durch 
welche M in M x übergeht, ist sowohl in der Form 8 T x als in der 
Form TS enthalten; denn bringt man, was immer und (für ein be 
stimmtes S) nur auf eine einzige Weise möglich ist, eine solche 
Substitution auf die Formen S T' x und T'S, so folgt, daß M x durch 
T\ in M x , M durch T' in M übergeht. — Es fragt sich also, durch 
wieviel Substitutionen T geht eine Gruppe M in sich selbst über?