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3. Tiip(S). t irgend ein Element von T. — Ist i in 7 ent 
halten, so ist t {zufolge ip(8) = 9Jl(<3p(F 0 ), F)} auch in xp{8) ent 
halten. Ist aber t nicht in F, also in U 0 enthalten, so muß, weil 
(§4) U 0 = Sil (C7, cp (U 0 )) ist, nach Definition von ü, t in <p(U 0 ), 
also auch in tp (8) enthalten sein. W. Z. B. W. 
Oder gleich klar T = löl [cp (?7 0 ), F) = ip[S). 
Satz: Ist A einem Teile von J3, und ist B einem Teile von A 
ähnlich, so sind auch A, B ähnlich. 
Beweis. Deutliche Abbildungen qp, ip\ und 
qp(^4)3-B, ip[E)^A 
also 
ip cp (.4) 3 rp [B) 3 A; 
da nun die Abbildung ip cp ebenfalls ähnlich ist, so ist ip cp (A) ähn 
lich A, also (nach vorigem Satze) auch ip(B) ähnlich A, und da 
ip(B) ähnlich B, so (einfachster Satz über Ähnlichkeit) ist auch A 
ähnlich B. W. Z. B. W. 
Erläuterungen zur vorstehenden Abhandlung. 
Dieser nach der Datierung vom 11. Juli 1887 stammende Beweis des 
Cantor-B ernst ein sehen Äquivalenzsatzes von 1897 ist genau derselbe, den 
Zermelo 1908 gegeben hat mit dem ausdrücklichen Hinweis, daß sein Beweis 
nur auf der Dedekindschen Kettentheorie beruhe (Grundlagen der Mengenlehre, 
Math. Ann. 65, Nr. 25 und 27). In der Tat findet sich der wesentliche Hilfssatz, 
T — 911 {<p (Uo), F), schon ohne Beweis in Satz 68, § 4, von „Was sind und 
was sollen die Zahlen?“ (LI dieser Ausgabe; die obigen Paragraphenverweisungen 
beziehen sich auf diese Schrift). 
In einem Brief vom 29. August 1899 schreibt Dedekind über den Satz an 
Cantor: „Als der junge Herr Felix Bernstein mich Pfingsten 1897 in Harzburg 
besuchte, sprach er von dem Satze B. auf S. 7 der Übersetzung von Marotte und 
stutzte ein wenig, als ich meine Überzeugung aussprach, daß derselbe mit meinen 
Mitteln (Was sind und was sollen die Zahlen?) leicht zu beweisen sei; doch kam 
es zu keiner weiteren Unterhaltung über seinen oder meinen Beweis. Nach seiner 
Abreise setzte ich mich daran und konstruierte den hier beiliegenden Beweis des 
offenbar mit B. gleichwertigen Satzes C.“ 
Dieser Beweis stimmt mit dem vorliegenden sachlich überein; die Bezeichnung 
ist geändert, schließt sich nicht mehr so eng an „Was sind und was sollen die 
Zahlen?“ an. Offenbar hatte Dedekind vergessen, daß es sich um Rekonstruktion 
eines alten Beweises handelte. 
Den ursprünglichen Beweis fand J. Cavailles-Paris im Nachlaß*). 
*) Zusatz bei der Korrektur: Der Beweis von 1899 ist unterdes er 
schienen in den Gesammelten Abhandlungen von Georg Cantor, Berlin, Springer 
(1932), S. 449.