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10. Satz, «ist Element von ab, d. h, [a] 3 ab. — Denn ab 
ist der Durchschnitt von lauter solchen Systemen H b , in denen a 
liegt. — (a Anfang von ab.) 
11. Satz, ab ist ein System H b , d. h. [6] 3 ab, und wenn s 
ein von 6 verschiedenes Element von a b, so ist [«'] 3 a b. — Dies 
folgt aus 8. — Also b Element (Ende) von ab. Ist H 3 ctö, aber b 
nicht in H enthalten, so ist H' 3 a b. 
12. Satz. Aus [a] 3 folgt ab 3 H b . — Unmittelbare Folge 
von 9. 
13. Satz, aa = [a\. — Dies folgt aus 4., weil aa der Durch 
schnitt aller H a ist, die ja alle das Element a enthalten (nach 3. L). 
14. Satz. Ist b' Element von so ist ab = S. — Dies folgt 
aus 11 und 5. 
15. Satz, b'b = S. — Dies folgt aus 14 und 10. 
16. Satz. Ist c Element von ab, so ist cbiab. — Dies folgt 
aus 12, denn ab ist ein H h (nach 11), welches das Element c 
enthält. 
17. Satz. Bedeutet A -f- B das aus A, B zusammengesetzte 
System, so ist 
d b -f- b' a = S. 
Denn wenn s Element von a'ö, so ist s in b'a oder a'b ent 
halten, je nachdem s = b oder verschieden von b (zufolge 10 oder 
11 und 3. II), und ebenso, wenn s Element von b"a, so ist s' in a'b 
oder b'a enthalten; also ist (a'b b'a)' 3 a'b -}- b'a\ hieraus folgt 
der Satz nach (2). 
18. Satz. Ist a verschieden von 6, so ist ab = [a] -f ab. — 
Denn da a ein von b verschiedenes Element von ab ist, so ist a' 
Element von ab (10, 11), und folglich (16) ist a'b iah-, da ferner 
(10) auch [a] 3 ab, mithin 
[a] + ab 3 ab- 
Ferner; jedes von b verschiedene Element s von \a\-\-a'b ist ent 
weder = a oder ein von b verschiedenes Element von a'b, in beiden 
Fällen ist s' (nach 10, 11) Element von a' b, also auch von [a] -F d b, 
und da (11) auch [6] 3 [a] + d b, so ist \d\-\-db ein System 
da endlich auch [a] 3 [a] + d b, so ist (12) auch 
a b 3 [a] + d b. 
Aus der Vergleichung beider Resultate folgt der Satz,