Bezeichnen (31), (32) die Winkel, welche die Ebene E 3 
bezüglich mit E x und E 2 bildet, so ist § 12, 6 
sin (13) X 
sin (32) q ’ 
somit ist 
P, P 3 # sin (13) 
P 3 P 2 ' sin (32) 
wo G blos von den Constanten der vier Gleichungen U, V, E ] und 
E 2 abhäugt. Schneidet daher eine vierte Ebene E x = 0, welche durch 
die Gerade E x = 0, E 2 — 0 geht, die Gerade U — 0, V — 0 in 
einem Puncte P 4 , so ist wiederum 
Pi Pi 
daher ist 
4 . sin (14) 
P 4 P 2 ■ sin (42) ’ 
P, P 3 P, P 4 sin (13) # sir^(14) 
P 3 P2* P 4 P 2 sin (32) ' sin (42) 
Nennt mau nun das links vom Gleichheitszeichen stehende Doppel 
verhältnis das der vier Puncte P,, P 2 , P 3 , P 4 und das rechts 
stehende das der vier Ebenen E i} E 2 , P 3 , E 4 , so drückt die Formel 
den Satz aus: 
Schneiden vier Ebenen, welche durch dieselbe Gerade 
gehen, eine zweite Gerade, so ist das Doppelverhältnis 
der vier Ebenen gleich dem Doppelverhältnisse ihrer vier 
Durch sch uittspuncte. 
12) Einen ganz ähnlichen Satz erhält man, wenn mau vier Ebenen, 
die durch eine Gerade gehen, durch eine fünfte Ebene schneidet. 
Es sei 
E = Ax + By + Gz + D = 0 
die Gleichung einer Ebene, die nicht durch den Durchschnitt der 
beiden Ebenen 
E x = Ä x x -(- E x y -f- Gß —|— D x — 0; E 2 =. A. 2 x -f- E 2 y -j- C 2 &E 2 —-0 
hindurchgehe. Die Ebene E s = P, + IE 2 enthält, wie die Form 
ihrer Gleichung zeigt, die Durchschnittsliuie der Ebenen E { = 0, 
E 2 = 0. 
Wir wollen nun vermittelst dieser Gleichungen die Winkel zu 
berechnen suchen, welche die Schnittlinien von E mit E x , E 2 und 
unter einander bilden. 
Zu dem Zwecke werden wir zunächst die Winkel, welche die 
einzelnen Schnittlinien mit den Axeu einschliefsen, zu bestimmen 
suchen. Diese finden wir unmittelbar, wenn wir die Gleichungen 
jeder derselben auf ihre einfachste Form bringen, in der sie daun 
zwei Projectionsebeuen der Geraden auf die Coordinatenebenen dar