Fünftes Capitel. 
§ 25. 
Liniencoordinaten. 
Im vorhergehenden Capitel sahen wir, dafs die gerade Linie in 
doppelter Weise aufgefafst werden kann: Entweder als von einem 
Puncte beschrieben, als ein Strahl, oder als von einer sich drehenden 
Ebene umhüllt, als eine Axe. Der ersten Auffassung entsprach die 
Darstellung der Geraden durch zwei lineare Gleichungen in Punct-, 
der letzteren die durch zwei lineare Gleichungen in Ebenencoordinaten. 
In der ersten Auffassung können wir die gerade Linie am ein 
fachsten durch die Gleichungen ihrer Projectionen auf zwei der drei 
Coordinatenebenen darstellen. Wir wählen in gewohnter Weise hierzu 
die Gleichungen der Projectionen auf die (XX)- und (FX)-Ebene: 
x = mz-\-p, y — nz-\-q, (1.) 
ans welchen durch Elimination des z sich die Gleichung der Projectiou 
auf die dritte Coordinatenebene (X F) 
nx — my = np — mq 
ergiebt. 
Setzen wir der Kürze halber • 
np—mq = r, - ■ - (2.) 
so können wir die fünf Gröfsen m, n, p, q, r als die fünf Coor- 
dinateu des Strahles betrachten, da irgend fünf Gröfsen, Avelche der 
Identität (2.) genügen, eine Gerade bestimmen. 
Ist nun ein Punct x y z des Strahles bekannt, so werden m, 
n, p, q, r durch die Ausdrücke dargestellt: 
m 
p 
x z — xz 
y — y 
z 
z ’ 
yjL 
z 
y Z 
z 
xy — X y 
z — z 
zwischen welchen wegen 
r = np — mq 
die Identität besteht: 
(X — x) (yz' — yz) -f {y — y) {xz — xz) + {z—z){xy' — xy)=0. (4.) 
Statt der obigen fünf können wir hier noch die folgenden sechs 
Ausdrücke als Coordiuateu einer Geraden betrachten 
x — x, y—y, z — z , 
xy — xy \ xz — xz'\ — {yz — yz),