90 
I. Abschnitt. Fünftes Capitel. Liniencoordinaten. 
indem irgend sechs gegebene Gröfsen diesen Ausdrücken gleichge 
setzt werden können, wenn sie die obige Identität (4) befriedigen, 
und also vermöge (3) einen Strahl bestimmen. 
2. Fassen wir die Gerade als Axe auf, so können wir sie in der 
früheren Weise durch die Gleichungen ihrer Durchschnittspuncte mit 
zwei der drei Coordinatenebenen, etwa der (XZ)- und (EZ)-Ebene 
darstellen: 
u = aw -f- h, v = c w -j- d. 
Aus diesen ergiebt sich durch Elimination des w die Gleichung 
des Durchschnittspunctes der Geraden mit der (XE)-Ebene: 
cu — av — hc — ad. 
Setzen wir der Kürze halber 
hc — ad = e, 
(5.) 
so können wir in ganz analoger Weise, wie wir früher m, n, p, q, r 
als die fünf Coordinaten eines Strahles betrachteten, jetzt die fünf 
Gröfsen 
a, h, c, d, e, 
zwischen welchen die Identität (5.) besteht, als die fünf Coordinaten 
der als Axe aufgefafsten Geraden nehmen. 
Sind nun «(,, v x , w x die Coordinaten einer gegebenen durch die 
Axe gehenden Ebene, so liefern die Gleichungen für a, Z>, c, d, e die 
Ausdrücke; 
U — Ul 
a — - 
10 — ?{?, 
(6.) 
welche wegen (5.) die Identität erfüllen 
(u — u x ) (vw x — wv x ) -f- (v — V!) {uw i — w x u) 
-f- [w — w^) (uvj — vu^ =0. (7.) 
Statt der obigen fünf können wir hiernach die folgenden sechs 
Ausdrücke als Coordinaten einer Axe annehmeu 
(u — u { ), (v — v x ), {w — w x ), 
(u v W — WyU) , (vw x — wv x ), (uv x — v i u), 
(7.) 
da man von diesen sechs Gröfsen, zwischen welchen die Identität (7) 
herrscht, stets zu den ursprünglichen fünf Coordinaten der Geraden (6) 
zurückgehen kann. * 
3) Wir wollen nun den Zusammenhang suchen, in dem die vor 
her definierten Strahl- und Axencoordiuaten derselben Geraden 
stehen. Sind x v y v und x 2 , y 2 , z 2 die Coordinaten zweier Puncte