§ 25. Liniencoordinaten. 91 
der Geraden, u x , v x , w Y und u 2) v 2 , w 2 die Coordinaten zweier durch 
sie gehenden Ebenen, so gelten die folgenden Gleichungen: 
u l x l + v x y x + w l e l + 1 = 0 
«1 x 2 + v x y 2 + w t z 2 +1=0 ^ 
U 2 X X —{— v 0 y x +- W 2 Z X -j— 1 = 0 
■ll 2 X 2 + V 2 y 2 + W 2 z 2 + 1=0 
Durch Subtraction der dritten von der ersten und der vierten von 
der zweiten Gleichung erhält man die beiden Gleichungen: 
+i — u 2 ) x x + (v, — v 2 ) y x + (w x — w 2 ) g x = 0 
(+ — %) x 2 + (v x — v 2 ) y 2 + {w x — w 2 ) z 2 = 0, 
woraus folgt: 
{u x — u 2 ) : (v x — v 2 ) : {w x — w 2 ) = 
{HVi — i) : (z x x 2 — x x z 2 ) : {y 2 x x — x 2 y x ) 
Da nun die obigen Gleichungen unverändert bleiben, wenn u, v, tu 
respective mit x, y, z vertauscht wird, so ergiebt sich aus dieser 
Relation 
+, — x 2 ) : {y x — y 2 ) : (z x — s 2 ) = 
(w 2 v| —. w l v. i ) : (tv x u 2 — w 2 u l ) : {v 2 u x — u 2 v x ) 
Aus der ersten und dritten, zweiten und vierten Gleichung in (8.) 
ergeben sich durch Elimination des x x : 
{v x u 2 — v 2 u x ) y x + (w x u 2 — w 2 u x ) z x + (u 2 — u x ) = 0 
(v x u 2 — v 2 u x ) y 2 + [w x u 2 — iu 2 u x ) z 2 + (u 2 — u x ) = 0, 
woraus durch Elimination von (tu x u 2 — tu 2 u x ) folgt; 
'li\ — V/2 ^2 ^2 ^ 1 
Vlh - 2/2^1 — ¿2 
Diese neue Proportion verbindet (9.) und (10.) und führt zur Relation 
U x — U 2 V x — V 2 _ W\ — 1V 2 
Z 2 y x — ZlVi Z X X 2 Z 2 X\ y 2 Xi X 2 y x 
W 2 V| — W t V 2 W X U 2 — W 2 U| l' 2 U x — U 2 V, 
x x — x 2 Vi — yz ^1 — ^2 1 
oder 
(X x i/2}’(^1 ^2) • (^2 ^2^1) • (^1 ^2 ^2 ^1) * (^22/1 ^1 2/2) Ì _ ^ j j ^ 
= {w 2 v l —w l v 2 ):{w l ti 2 —tv 2 u x ):{v 2 u l —u 2 v 1 ):{tu x —w 2 ):(v x -v 2 ):(u ìi -~u 2 ) J 
Die Gleichheit dieser Verhältnisse drückt somit die Bedingungen aus, 
unter welchen die Strahl- und Axen-Coordinaten dieselbe Gerade dar 
stellen. liehen wir zu den fünf Coordinaten der Geraden zurück, 
so verwandelt sich (11.) in 
m : n : 1 : r : p : — q — — d : h : e : Ì : c : a,