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I. Abschnitt. Fünftes Capitel. Liuiencoordinaten. • 
§ 26. 
Der Liniencomplex des ersten Grades. 
Ebenso wie wir die Punct- oder Linien coordinateli durch eine 
Gleichung mit einander verbinden und nach den Eigenschaften der 
Puucte forschen , deren Coordinaten diese Gleichung befriedigen, 
können wir auch die Liniencoordinaten durch eine Gleichung ver 
knüpfen und nach den Eigenschaften der Geraden fragen, deren 
Coordinaten dieser Gleichung genügen. Wir wollen nun jetzt, wie 
wir früher die lineare Gleichung in Punct- und Ebenencoordinateu 
untersuchten, die lineare Gleichung in Liniencoordinaten einer näheren 
Betrachtung unterziehen. Die Gesammtheit der Geraden, deren Coor- 
dinaten einer solchen linearen Gléichung genügen, wird ein Complex 
des ersten Grades oder ein linearer Complex genannt. 
Nehmen wir als die allgemeine homogene Gleichung ersten 
Grades zwischen den sechs Strahlencoordinaten 
x — x x -, v — yr, * — * x i ysi — «m; x x e — xe x \ xy x — x x y 
die folgende: 
A ix — x x ) + B {y — y x ) + G 0 - e x ) + B {yz x — y x z) 
-f E («iz — xz x ) + F(xy x — x x y) = 0, 
so constituiert die Gesammtheit der Geraden, deren Coordinaten 
dieser Gleichung genügen, den allgemeinen linearen Complex. 
Die Formeln § 25, 11 liefern die Darstellung desselben Com 
plexes in den sechs homogenen Axencoordinaten 
U — u lf V — V X f IV — W x , VU { — UV J, ww x — wu l , tvv i — vw x 
und zwar: 
(2.) 
D (u ■— ttj) -f- E (v — v x ) -f- F {w — w x ) -f- A [vw { — wv x ) 
+ B {wu x — uw x ) -f- C (iti), — vu x ) = 0 . 
Wir gelangen also von der Gleichung eines linearen Complexes in 
Strahlen- zu seiner Gleichung in Axencoordinaten, indem wir A, 
B, C bezüglich mit D, E, F und die Punctcoordinaten x, y, z, x v 
y i} z l bezüglich mit den Ebenencoordinaten u, v, w, u l} v l} tv x ver 
tauschen. 
Aus den Gleichungen (1.) und (2.) zwischen den homogenen 
Strahlen- und Axencoordinaten des Complexes erhalten wir als Gleichung 
desselben in den fünf Strahlencoordinaten: m, n, p, q, r (§ 25, 3): 
Am -j- Bn G — Bq -\- Ep -f- Fr — 0; 
in den fünf Axencoordinaten: a, h, c, d, e (§ 25, 6) 
Ba + Ec + F — Ad + Bh -f Ce = 0.