II. Abschnitt. 
Projectivische Geometrie. 
Sechstes Capitel. 
Die homogenen Coordinateli. 
§ 31. 
P unotco ordinateti. 
Aufser der bisher benutzten Bestimmungsweise eines Puñetes 
und einer Ebene durch drei Coordinateli, ist im Laufe der Entwick 
lung der analytischen Geometrie eine andere in Verwendung ge 
kommen, die überall, wo es sich um blol'se Lagenbeziehungen handelt, 
erhebliche Vorteile gegen die erste bietet. Sie strebt vornehmlich 
an, die Gleichungen, welche die geometrischen Gebilde repräsentieren, 
homogen zu gestalten, um dadurch der analytischen Geometrie die 
Vorteile der Symmetrie zuzuwenden. Dies wird offenbar schon erreicht, 
wenn wir die bisher verwendeten Coordinateli als Brüche mit dem 
selben Nenner darstelleu, und sowohl die Zähler als die Nenner zu 
Coordinateli resp. der Ebenen oder des Puñetes nehmen. 
Wir drücken also nunmehr den Ort eines Puñetes im Raume 
durch vier Coordinateli x, y, 0, p aus und verstehen darunter vier 
Gröfsen, deren Verhältnisse ~~~ die gewöhnlichen Cartesischen 
Coordiuaten des Puñetes darstellen. 
Unter diesen Voraussetzungen bestimmen diese vier Coordinateli 
unzweideutig einen Punct; aber nicht umgekehrt sind durch die Lage 
des Punctes seine Coordinateli vollständig bestimmt, sondern blofs 
deren Verhältnisse zu einander. Demnach hat ein Punct unendlich 
viele Werte seiner Coordinateli, die aber alle in demselben bestimmten 
Verhältnisse zu einander stehen. Und umgekehrt, alle Systeme von 
Coordiuaten, die in demselben Verhältnisse zu einander stehen, be 
stimmen ein und denselben Punct. 
Diese Coordiuaten sind die einfachsten homogenen Coordiuaten 
und wir erhalten offenbar ein allgemeineres System derselben, wenn 
wir die Verhältnisse der vier homogenen Coordiuaten nicht mehr den 
Cartesischen Coordinateli des Punctes selbst, sondern Quotienten mit