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§ 31. Panctcoordinaten. 
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gleichen Nennern, gebildet aus vier von einander unabhängigen 
linearen Ausdrücken derselben, gleichsetzeu. Denn daraus ergeben 
sich die Cartesischen Coordinateli als Quotienten linearer homogener 
Ausdrücke der neuen Coordinateli mit gleichem Nenner und die Sub 
stitution derselben macht daher jede Gleichung zwischen Cartesischen 
Coordinateli zu einer homogenen nach diesen vier linearen Ausdrücken 
und somit auch nach den neuen Coordinateli. 
Wir wollen also unter den vier homogenen Coordinaten x x , x 27 
# 3 , x 4 eines Punctes Gröfsen verstehen, welche mit dessen Carte- 
sischeu x, y, z durch die Verhältnisse Zusammenhängen 
ZV’ »ZV» «ZV» • ZV* 
«AZ 1 • tX/2 • lAZß • tAZ^ 
(«]£ -f- b 4 y 4" c i 3 4" ^i) : i a 2 x 4“ h.,y -f- c 2 z -f- d 2 ) 
: (ßs x 4" 4" c z 8 ■+■ ^3) : (. a i x + -f- c 4 # -j- d 4 ). 
Dieselben bestimmen unzweideutig einen Puuct, da, wenn ihre Ver 
hältnisse bekannt sind, auch drei Gleichungen zwischen den Carte- 
sischen Coordinaten des Punctes gegeben sind und sich somit diese 
hieraus bestimmen lassen. Aber nicht umgekehrt sind durch die Lage 
eines Punctes dessen homogene Coordinaten gegeben, sondern blos 
deren Verhältnis zu einander. Demnach entsprechen einem Puncte 
unendlich viele Werte seiner homogenen Coordinatoli, die aber alle 
in demselben bestimmten Verhältnisse zu einander stehen. Und um 
gekehrt: alle Wertsysteme der vier homogenen Coordinaten, die gleiche 
Verhältnisse zu einander haben, stellen denselben Punct dar. Mit 
Benutzung eines Proportionalitätsfactors p können wir die obigen 
Verhältnisse durch die vier Gleichungen ersetzen: 
Q X 4 = ßj X —|— y —J- Cj S —(— (/( 
QX2 = (l 2 X -j- 4~ ^2^ 4” ^2 
Q x 3 = c h x + hv 4" c 3 8 4" ( h 
Q x i == d' 4 x -f- l> 4 y -j- c 4 z -j— d 4 . 
Da wir nun jeden der obigen linearen Ausdrücke, unter Veränderung 
seiner Coefficienten, mit einem beliebigen constaliten Factor versehen 
dürfen, so können die homogenen Coordinaten durch vier Gleichungen 
von der Form definiert werden: 
qx ì = k x (ß, x -f- h l y -(- c x z + d 4 
Q X 2 — ^2 i a 2 X 4“ ^2 V 4* C 2 8 4" 
y x :\ = &3 i a 3 x 4“ ^:’,y V c s 8 4~ ( h 
Q x 4 = h (a 4 x + h 4 y + c 4 2 + d 4 
wo die Gröfsen Jc x , k 2 , h ]} Jc 4 als willkürlich aber fest gewählt anzu 
sehen sind. Die Constante!! in diesen vier Gleichungen müssen jedoch 
einer gewissen Einschränkung unterworfen werden, 
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