§ 33. Das Fundamentaltetraeder. 
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Die homogenen Coorclinateu x x , x 2 , x a , x 4 eines Punctes und 
u i> u s> u i e ™ er Ebene hängen dann nach § 31 und 32 mit ihren 
gewöhnlichen Coordinaten x, y, z, und u, v, w durch die Gleichungen 
zusammen : 
Gu x —v x (A x u -f- B x v-\-C x w-{-1) 
qx x = Jc x (a x x 4 l) x y c, e -)- 1) 
QX>2 — Jit) ( K Cl 2 X —f- 1>2y ~f - C 2 Z —)— 1) 
9 x z = h («3® + h 3y 4 H* 4 !) 
QX4 = h («4® + h iV 4 H 8 4 1) 
wo die li und v ganz beliebige, 
zeichnen. 
Den verschiedenen Wertsystemen der m und v entsprechen dann 
verschiedene Systeme homogener Coordinaten. Wählen wir nun 
G U 2 — ^2 ^-A 2 M —|~ V 4~ C‘t № “I - 1 ) 
G Mg = Vo (.Tg M —I - .Dg V ~I - Cg 'iV ~{“ 1 ) 
G Mg = V 4 (A 4 U 4 /> ! V -)- Cg W -j- 1) 
aber fest gewählte Constante be- 
h = h = h = lc 4 = v x = v 2 = v 3 = v 4 = 1, 
so hängen die homogenen und gewöhnlichen Coordinaten durch die 
Gleichungen zusammen: 
QXy G X X | h x y 4~ c x s ~J— cl x G Mj — A X u —J- 13 x v ~j— (J x iv —J— B x | 
qx 2 = a 2 x + b 2 y 4 c 2 z -f d 2 gu 2 = A 2 u 4 B 2 v + C 2 w 4 D 2 j 
QX 3 = + h 2 y + c 2 z 4 d, G Mg = vl :j M 4 J5gv -f CgW 4 D 3 ^ 
P 4 — ci 4 x —j— l) 4 y -j - c 4 z -j— d 4 g u 4 = A 4 u —j— J> x v —j— C 4 w “I - Dj 
und es müssen dann die Perpendikel vom Puncte auf die Tetraeder 
flächen § 31 (3.) mit den Constanton 
A, — V-f- h x 2 -f- c x ; l 2 = Ya 2 z -J- h 2 l -j- c 2 ¿ 5 
^3 = V a A 4 Ci' 4 c ;í ¿ 5 Ai — yg.\ 2 -f- h 4 2 4" •> 
und jene von den Tetraederecken auf eine Ebene § 32 (3') mit den 
Constanten 
y x D x 5 y 2 I) 2 • — Dg ; y, 4 — I) 4 
multipliciert werden, um bezüglich die Verhältnisse der homogenen 
Coordinaten des Punctes und der Ebene darzustellen. 
Von diesen homogenen Coordinaten eines Punctes und einer 
Ebene gelangen wir zu seinen gewöhnlichen durch Auflösung der 
Gleichungen (I), wodurch sich ergiebt: 
A t x, + A 2 x 2 4 A 3 x 3 + Ä 4 x 4 
i>, x t 4 l\x 2 4 D 3 x 3 4 D 4 x 4 
BjXi 4 b 2 x 2 4 B3X3 4~ b, 
X, 4 B 2 X 2 4 B 3 X 3 4 B4 *4 
ß __ CjXj 4 ^2 x 2 4 C 3 x 3 4 OjX 4 
ByXi 4 B 2 x 2 4 B 3 x 3 4 b¡x¡ 
u = 
C¿]Uj —|— ^2^2 “1“ ^3^3 ~f~ CI4^4 
—)- d 2 M 2 “)“ —J— d^Vj± 
Ì)\Vj\ —(- l) 2 V/2 ~(~ &3^3 -j— &4W4 
—I— dz'M'z “I“ d%u§ -j— 
c, ~\~ c 2 ^2 “1“ C 3 -j- C4 Uf 
dfUi —|- d 2 ^2 ~f~ d 3 Vj<4 ¡-j— d\ Vj\ 
(ii.) 
Diese Gleichungen lehren uns eine wichtige Consequenz der oben ge- 
Eseherich, Einleitung- i. d. anal. Geom. d. Raum. g