126 II. Abschnitt. Sechstes Capitel. Die homogenen Coordinaten. 
Lösen wir nun diese Determinante nach dem La Place’schen 
Satze in ein Aggregat aus Producten zweigliederiger Determinanten, 
auf deren Elemente den beiden ersten oder letzten Zeilen der vier- 
gliederigen Determinante entnommen sind, und setzen 
Pik ■ ff k yi Qik W» Vk UkV{ 
Pik = XiVk — XkVi y iik = uWk — U'kV'i, 
so erhalten wir die obigen Relationen. 
Pallen die beiden Geraden zusammen, so gehen diese Bediugungs- 
gleichungen in die Identitäten über, welche zwischen den sechs 
Strahlen- und Axencoordinaten einer Geraden bestehen. 
5) Die eben abgeleiteten Formeln lassen sofort erkennen, dafsje 
sechs Gröfseu P ik oder Q ik , die sich vermöge zweier Constanten A und 
A' in der Form darstellen lassen; 
QPik — hp ik -f- Ap ik , 6 Q ik — Xq ik -f- l'q ik , 
wo q und a Proportionalitätsfactoren bedeuten, als die Strahlen- resp. 
Axencoordinaten einer Geraden aufgefafst werden dürfen, die mit 
den beiden anderen durch denselben Punct geht und in derselben 
Ebene liegt. Und umgekehrt. 
Wir wollen hier nur den Beweis für Strahlencoordinaten liefern, 
da sich demselben jener für Axencoordinaten leicht nachbilden läfst. 
Zunächst finden wir 
i> 2 (Pia P 3 4 + P 3 1 -P 2 4 + Pl4 ?n) 
= V (Pl2 Pu + Pu Pu + Pl4 Pn) 
+ A A' (p 21 Vu+ Pn Pu + JPsi P24'+ Pu Pn Pu P 3 i'+ Pu Pu) 
+ ^ 2 {P\2 PuPu Pu + v u' Pn')- 
Da nun die Coefficienten nach § 35 und (4) verschwinden, so ist 
Pl2 P 3 4 + P 3 1 ^24 + Pii P 2 3 — 0, 
und somit können diese sechs Gröfsen als die Coordinaten einer 
Geraden betrachtet werden. Dieselbe schneidet jede der beiden Ge 
raden, da sowohl 
P» Pu + Pn Pu + Pu Pu + Pl4 Pn + Pu Pu + P 3 4 Pn = 
als auch 
Pl2 P.34 + P23 Pu~\r P31 i ) 24 , + P\ 4 Pn~\~ P2 4 Pu'~\~ ^34 Pn' — 0, 
indem in jedem dieser Ausdrücke sowohl der Coefficient von A als 
auch von A' § 35 und (4) identisch verschwindet. Somit geht diese Gerade 
durch den Schnittpuuct der beiden anderen. Sie liegt aber überdies 
auch in der Ebene derselben.