130 II. Abschnitt. Siebentes Capitel. Die einförmigen Grundgebilde. 
wir die Gesammtheit aller Puncte, 
welche die Ebene der drei Puncte 
P,, P 2 , P 3 erfüllen. Diese Ebene 
erscheint hiernach als der Träger 
aller ihrer Puncte; wir nennen die 
Gesammtheit derselben ein ebenes 
System. Im ebenen System sind 
somit unendlich viele Punctreihen 
und Strahlenbüschel als Elemente 
enthalten, denn alle in einer Ge 
raden liegenden Puncte des Systems 
bilden eine Punctreihe, und alle 
durch einen Punct gehenden Strah 
len des Systems einen Strahlen 
büschel. 
Jedes ebene System wird aus 
einem Puncte durch einen Strah 
lenbündel projiciert. 
-f- oo durchlaufen, so erhalten wir 
die Gesammtheit aller Ebenen, 
welche durch den Schnittpunct der 
drei Ebenen E x , P 2 , P 3 hindurch 
geht. Dieser Punct erscheint hier 
nach als der Träger aller Ebenen, 
welche durch ihn gehen; wir nennen 
die Gesammtheit derselben einen 
Strahlenbündel, den Punct 
selbst dessen Mittelpunkt. Im 
Strahlenbüudel Sind somit unend 
lich viele Ebenenbüschel und Strah 
lenbüschel als Elemente enthalten, 
denn alle'Ebenen des Bündels, die 
sich in einer Axe schneiden, bilden 
einen Ebenenbüschel; und alle 
Strahlen desselben, welche in einer 
Ebene liegen, einen Strahlen 
büschel. 
Jeder Strahlenbündel wird von 
einer Ebene in einem ebenen Sy 
steme geschnitten. 
Diese beiden Gebilde: das ebene System und der Strah 
lenbündel, heifsen die Grundgebilde der zweiten Stufe. 
Wir sind berechtigt, dieselben als Grundgebilde höherer Stufe 
aufzufassen, da jedes derselben doppelt unendlich viele Elemente ent 
hält, indem dieselben dadurch erhalten werden, dafs zwei Parameter 
— die Verhältnisse zweier der Gröfsen A 1; J 2 , J 3 zur dritten — alle 
Werte von — oo bis -f- oo durchlaufen. Dies geht auch aus der 
Gleichung hervor 
u l x l -f- u 2 x 2 -j- u 3 x3 -J- u 4 x 4 == 0, 
weiche sowohl als die Gleichung eines ebenen Systems als auch eines 
Strahlenbündels angesehen werden kann. 
3) Schliefslich haben wir noch ein Grundgebilde der dritten 
Stufe, das räumliche System oder der unbegrenzte Raum selbst mit 
allen seinen Puncten, Geraden und Ebenen. Das räumliche System 
enthält also unendlich viele Grundgebilde der ersten und zweiten 
Stufe als Elemente; denn jede Ebene desselben ist der Träger eines 
ebenen Systems, jeder Punct der Mittelpunet eines Strahlenbündels, 
jede Gerade der Träger einer Punctreihe und die Axe eines Ebeneu- 
büschels. Jedes dieser Grundgebilde besitzt eine eigene Geometrie, 
die wir im Folgenden entwickeln wollen.