§ 42. Fortsetzung. 
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Aus dieser Yerwandtschaftsgleichung läist sich leicht eine wesent 
liche Eigenschaft zweier projectivischer Grundgebrlde ahleiten, die zu 
einer neuen mehr geometrischen Definition ihrer Verwandtschaft führt. 
Zu diesem Behufe wählen wir zwei Paare einander entsprechender 
Elemente; X und X' seien die Parameter des einen und fi und fi die 
des anderen Paares. Dann hängen also X und X', fi und fi durch 
die Gleichungen zusammen 
ei X X —J— 1) X c X —j— d = 0 ; ci fi fi —j— h fi —j— c fi -j}~ d = 0 • 
Subtrahieren wir diese beiden Gleichungen von einander, so er- 
giebt sich 
a (XX'— fi fi') -f- b (X — fi) -f- c (X'— fi') — 0, 
oder 
a [X' (X — fi) -f fi (Xfi')] + h (X — fi) + c (V— fi) = 0, 
woraus folgt 
X — a[i c al -\- c . 
X'—fi' aX'-\-h afi'-\-h ' ' 
Die in dieser Formel auftretenden Gröfsen haben noch eine von den 
Gruudpuncten abhängige Bedeutung, doch läist sich aus ihr eine 
von ihnen unabhängige Relation zwischen den einander eindeutig zu- 
geordueten Elementen der beiden projectivischen Gebilde ableiten. 
Es seien A 1 und A/; X 2 und X 2 \ X 3 und X 3 die Parameter dreier 
Paare entsprechender Elemente der beiden projectivischen Gebilde. 
Wenden wir nun die obige Formel (1.) auf das erste und dritte Paar 
an, so liefert sie 
<b — A 3 __ a h ~b c 
Ai A 3 aX x -f- b ’ 
auf das zweite und dritte augewendet ergiebt sie 
A3 Ag d X 3 c 
Äg X2 d X2 “J“ Ö ^ 
woraus folgt: 
Ai — A 3 # A| — ¿3 _ dX % -f- h 
Ä3 -— A2 ^3 — ^2 h 
In dieser Gleichung hat die rechte Seite eine von der Wahl der 
Grundpuncte abhängige geometrische Bedeutung, während auf der 
linken Seite sowohl Dividend als auch Divisor (§ 41) abgesehen von 
einem constanten von den Grundelementen abhängigen Factor Abstands 
verhältnisse des Elementes 3 von den Elementen 1 und 2 sind. Da 
nun die rechte Seite dieser Gleichung blofs von den Parametern X,' 
und X 2 ' abhängt, so ist für ein viertes Paar entsprechender Elemente, 
deren Parameter X 4 und X 4 ' seien: