§ 45. Das Doppelverhältnis. 
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(ach d) 
a — b _ a — d (a — h) {d — c) 
b — c ‘ d — c (b — c) (a — d) 
[(a — c) — (b — c)] '[(6 — d) — {b — c)] 
(b — c) (a —• d) 
(a —- c) [b — d) — (b — c) {b — d) — (b — c) (a — b) 
{b — c) (a — d) 
(a — c) (b — d) — (a — d) (b — c) 
(& — c) (ia — d) 
(n n\ n rJ 
{ahcd) -f- 1, 
also 
(.ahcd) -J- (achd) = 1. 
Vermittelst dieser Sätze ist es nun leicht, aus dem Werte eines 
Doppelverhältnisses den eines jeden anderen zu berechnen, dessen 
Symbol durch Vertauschung der Buchstaben im Symbole des gegebenen 
Doppelverhältnisses entsteht, wie dies die nachfolgende Zusammen 
stellung zeigt: 
(ahcd) ==> (bade) — (edah) = (dcha) = k 
(ah de) — {ha cd) — (de ah) = (cdhci) = y 
(.achd) = (hdac) — (dhea) = (cadh) = 1 — k 
Die sechs verschiedenen Werte, deren das Doppelver 
hältnis aus vier Elementen fähig ist, sind sonach, wenn 
eines derselben den Wert k besitzt: 
x 1 7, JL . A/ — . ^ 
> K> 1 “ K; 5 ~~F~ ’ 
Im allgemeinen sind alle diese sechs Werte von einander verschieden; 
in Folge besonderer Lage der vier Elemente zu einander können 
jedoch einige derselben zusammenfallen. In diesen Fällen mufs dann, 
da zwei Relationen in k einander gleich werden, k selbst besondere 
Werte besitzen und diese wollen wir nunmehr aufsuchen.