§ 47. Ausgezeichnete Elemente. 
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§ 47. 
Ausgezeichnete Elemente. 
In den vorhergehenden Auseinandersetzungen haben wir keine 
Rücksicht auf die Art der Gebilde genommen, die wir projectivisch 
auf einander bezogen. Nunmehr wollen wir voraussetzen, dafs die 
beiden projectivischen Gebilde gleichartig, entweder zwei Punctreiheu, 
Ebenenbüschel oder Strahlenbüschel seien. In zwei derartigen pro 
jectivischen Gebilden existieren gewisse ausgezeichnete Elemente, die 
in einer einfachen Relation zu den entsprechenden Elementen der 
beiden Gebilde stehen. 
1) Bei zwei projectivischen Punctreihen sind diese ausgezeichneten 
Elemente die beiden unendlich fernen Puñete der Punctreihe und 
die denselben entsprechenden Puñete, welche auch die Gegenpuncte 
genannt werden. 
Nehmen wir an, X = 0 und Y — 0 seien die Grundpuncte der 
einen, die denselben bezüglich entsprechenden X'= 0 und Y'— 0 
jene der anderen Punctreihe, so werden die beiden projectivischen 
Punctreihen durch die Gleichungen dargestellt (§ 46): 
X -f XY = 0, Z'+ cXY'= 0, 
wo c eine Constante bezeichnet. Ist daher Z — 0 irgend ein Punct 
der ersten, Z'— 0 der entsprechende der zweiten Punctreihe, so ist 
XZ 
ZY 
= 9 1 5 
X’Z’ 
ZY’ 
— Q cl . 
wo q und q Constante bedeuten (§ 42). Für den unendlich fernen 
Punct Q der ersten Punctreihe ist X =— daher ergiebt sich für 
seinen entsprechenden Q' in der anderen Punctreihe 
X'Q' cq' 
• «' Y' ~ 9 ’ 
Für den unendlich fernen Punct R' der zweiten Punctreihe ist 
X = — , somit für den entsprechenden B der ersten Punctreihe 
XB Q_ 
BY cq’‘ 
Durch Multiplication beider Gleichungen ergiebt sich 
BX- Q'X'— BY • Q'Y'. 
Da nun X und X', Y und Y' irgend zwei Paare entsprechender 
Puncte der beiden Punctreiheu waren, so ergiebt diese Formel den Satz: 
Das Rechteck, welches gebildet wird aus den Abstän 
den zweier entsprechenden Puncte zweier projectivischen 
■Escherich, Einleitung i. d. anal. Geom. d. Kaum. 10