§. 48, Fortsetzung. 147 
kann X blos durch den Winkel ME und X' durch PE' ausge 
drückt werden, auf welche Weise sich ergiebt: 
X — m tan (M'E) ; X'— m tan (M' A E') . 
Es sei nun X der Parameter irgend einer Ebene E des ersten Büschels, 
X' der ihrer entsprechenden Ebene E' im zweiten Büschel; Je der 
Parameter jener Ebene K des ersten Büschels, welche zu E senk 
recht steht und Je jener der K entsprechenden Ebene K' im zweiten 
Büschel. Es bestehen daun die beiden Gleichungen 
aXX'-f- hX -f- cX'-j- <7 = 0 
aJeJe-)- bJe -f- cJe-f- (7 = 0. 
Da aber E und K senkrecht auf einander sind, so ist 
M A K = M*E + E*K = M*E ± 90° 
und daher ist 
Je — m tan M X K = m tan (M*E + 90°) = — • 
Durch diese Relation treten an Stelle der obigen beiden Gleichungen: 
aXA'-f- hX cX'~j- (7 = 0 
— am 2 Je — m 2 b -f- cJe'X -}- dX = 0, 
woraus durch Elimination von X sich der Zusammenhang zwischen 
X' und Je ergiebt: 
c k'-f- d arnrh-f- m 2 h 
ak'-\- b ck -\- d } 
oder 
(m 2 a z -f- c 2 ) X'Je~f- (m 2 ab -f- cd) {X'-\- Je) -j- m 2 b 2 -f- d 2 = 0 . 
Diese Gleichung verbindet also die Parameter zweier Ebenen des 
zweiten Büschels, welche zwei auf einander senkrechten Ebenen 
des ersten entsprechen. Es läfst sich nun leicht erkennen, dafs unter 
den Ebenenpaaren des zweiten Büschels, welche den auf einander 
senkrechten Ebenenpaaren des ersten entsprechen, sich eines befindet, 
dessen Ebenen' selbst auf einander senkrecht stehen. Es ist jenes, bei 
welchem die Parameter X' und Je seiner Ebenen aufser der Gleichung 
{m 2 a 2 + c 2 ) X'Je'-\- (m 2 ab -f- cd) (A'-f- Je) -f- m 2 b 2 -f- d 2 = 0 
noch der Bedingung der Perpendicularität genügen 
Jc'X'— — m 2 . 
Es bestehen somit zur Bestimmung von Je und X' die beiden Gleichungen 
7/ | y m’ 2 (m 2 a 2 -f- c 2 ) — (m 2 b 2 -f- a 2 ) 
Ä ~ m 2 ab + cd 
Je' X'— — m' 2 , 
io*