148 II. Abschnitt. Siebentes Capitel. Die einförmigen Grundgebilde. 
woraus sich Je und k' als die Wurzeln der quadratischen Gleichung 
darstellen lassen: 
m 2 {m 2 a 2 -f- c 2 )— (m 2 b 2 4- d 2 ) . , 0 n 
k 2 1 , , 1 —- k — m 2 = 0 : 
m 2 ao -f- cd 7 
Da dieselbe stets zwei reelle Wurzeln besitzt, so erhalten wir den Satz: 
In jedem von zwei projectivischen Ebenenbüscheln 
existiert im Allgemeinen ein, aber auch nur ein Ebenen 
paar, dessen Ebenen ebenso wie seine entsprechenden 
im anderen Büschel auf einander senkrecht stehen. 
Sind S — 0 und T — 0 die Gleichungen dieser Ebenen in dem 
einen, und S'— 0, T'= 0 die ihrer entsprechenden in dem anderen 
Ebenenbüschel, so sind 
und S'-\-vkT'=0, 
wo v eine Constante ist, die Gleichungen dieser beiden projectivischen 
Ebenenbüschel. Da nun der einer Ebene des Ebenenbüschels zuge 
hörige Parameterwert bis auf eine Constante gleich dem Abstands 
verhältnis dieser Ebene von den beiden Grundebenen ist, so ist, wenn 
die entsprechenden Ebenen E — 0 und E'— 0 der beiden Ebenen 
büschel durch den Parameterwert k in den obigen Gleichungen be 
stimmt werden, 
k = c = - c tan S A E = — c cot T A E 
sm Mj k I 
mk = — c tau S' A E'= — c cot T' A E\ 
wo c und c constante Gröfsen bedeuten. Hieraus folgt 
tan S A E tan T' A E'= — 
mc 
tan T A E tan S' A E'= — ■ 
c 
Es ist also jedes der beiden Producte 
tan S''E tan T' A E', tan T^E tan S’ A E' • 
für jedes Paar entsprechender Ebenen E und E' der beiden 
Ebenenbüschel eine constante Gröfse. 
Analog wie bei den Punctreihen existieren auch hier bei den 
Ebenenbüschelu zwei Paare entsprechender Ebenen, für welche sich 
diese Rechtecke in Quadrate verwandeln. Um diese Ebenenpaare 
aufzufinden, müssen wir wieder die beiden Fälle trennen, in welchen 
das obige Product positiv, gleich Je 2 , oder negativ, gleich — Je 2 ist. 
Im ersteren Falle sind diese beiden Ebenen des ersten Büschels Gr 
und H, und die entsprechenden Gr und H' offenbar durch die Gleich 
ungen gegeben