§. 49. Übungen. 
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sin ac sin ad 
sin cb ' sin db 
dieselben Substitutionen, vor- 
zweiten, indem man in {abcd) 
genommen werden. 
5) Sind A, B, C, B vier harmonische Puncte, so bestehen die 
Identitäten 
2 1 . 1 
B A BC ' BB 
1 
CD 
2 
TTÜ 
AC 
1 
BÄ 
+ 
2 
~AB 
2 — _J l_ 
n 4 l 
1 
~AB 
1 
Bb 
1 + 1 
u. s. w. 
DA _r BB 
und analog für vier harmonische Strahlen 
. ^ = \ , 1_ 
tan a A b tan a^c ' tana A c2 
6) Sind Ä und B, C und D zwei Paare conjugiert harmonischer 
Puncte und ist 0 die Mitte des Abstandes des einen Paares, etwa 
AB, so ist — 9 ^ ^ _ 
? OA 2 = OCOD. 
Anl. Aus (ADCB) = \ folgt zunächst 
und hieraus 
AC ■ BB = AO ■ CB = AB ■ BC 
AC ■ BC = CD ■ CO . 
Die analogen Sätze für vier harmonische Strahlen aufzustellen. 
7) Es sind die Sätze in 5) und 6) aus (A ^ = — 1, wo 
A und [i, A t und ^ die Parameter zweier Paare conjugiert har 
monischer Puncte bedeuten, zu beweisen. 
8) Das Punctepaar oder Ebenenpaar zu bestimmen, das har 
monisch ist zu jedem von zwei gegebenen Punctepaaren oder Ebenen 
paaren. 
Anl. Die Parameter dieses Ebenenpaares werden durch Auflösung einer 
quadratischen Gleichung erhalten. Die Construction ergiebt sich aus 6. 
9) Schneidet man die Kanten eines Tetraeders durch eine Ebene 
und construiert zu zwei Schnittpuncten derselben auf den Kanten des 
Tetraeders die vierten harmonischen Puncte, so liegen diese beiden 
construierten Puncte mit den Schnittpuncten auf den Gegenkanten 
in einer Ebene. 
Anl. Sind A = 0 und B = 0 die Gleichungen zweier Puncte, so werden 
dieselben durch das Punctepaar — 0, A — IB — 0 harmonisch getrennt. 
10) Schneidet man die Kanten eines Tetraeders durch eine Ebene 
und construiert auf jeder Kante zu dem Schnittpuncte den vierten 
harmonischen Punct, so schneiden sich die Geraden, welche von