Achtes Oapitel. 
Die Erzeugnisse zweier einförmigen projectivisclien Drundgebilde. 
§ 50. 
Die Regelfläche. 
Sind irgend zwei Grundgebilde der ersten Stufe projectivisch auf 
einander bezogen und sind sie derart, dafs je zwei entsprechende 
Elemente derselben — indem man sie zum Schnitte bringt oder ver 
bindet — einen Punct, eine Ebene oder Gerade bestimmen, so wird 
die Gesamtheit derselben, da sie continuierlich auf einander folgen, 
ein bestimmtes Gebilde erfüllen, welches das Erzeugnis der beiden 
projectivischen Grundgebilde genannt wird. Die wichtigsten Eigen 
schaften dieser Erzeugnisse sollen nun im Folgenden aufgesucht 
werden. 
Wir wollen hierbei der Kürze halber zu Grundelementen der 
beiden Gebilde, deren Erzeugnis wir zu untersuchen beabsichtigen, 
stets zwei Paare entsprechender Elemente derselben wählen. Be 
stimmen wir also die Elemente ü=0, V— 0 des einen Gebildes 
zu Grundelementen, so nehmen wir die entsprechenden im anderen 
Gebilde ü — 0, V— 0 zu dessen Grundelementen, Die projectivische 
Beziehung der beiden Gebilde drückt sich dann durch die Form ihrer 
Gleichungen aus; stellt nämlich U -f- IV — 0 die Gleichung des einen 
Gebildes dar, so ist U'-\- mA V— 0, wo m eine Constante ist, die 
Gleichung des anderen Gebildes. 
Wir beginnen mit dem Erzeugnisse zweier projectivischen Ebenen 
büschel, dem nach dem Gesetze der Reciprocität das Erzeugnis zweier 
projectivischen Punctreihen zur Seite steht. Beide sind, wie sich 
leicht zeigen läfst, identisch’. 
Diese Identität ist unmittelbar klar, da die Schnittlinien der ent 
sprechenden Ebenen zweier projectivischer Ebenenbüschel gleichzeitig 
die Verbindungslinien der entsprechenden Puncte — die sogenannten 
Projectionsstrahlen — zweier projectivischer Punctreihen sind. Denn 
jeder der beiden projectivischen Ebenenbüschel schneidet die Axe des 
anderen in einer zu ihm projectivischen Punctreihe, somit sind diese 
beiden Punctreihen selbst zu einander projectivisch in Ansehung jener 
Elemente, welche durch entsprechende Ebenen der beiden Büschel 
bestimmt werden. Die Schnittlinie zweier entsprechender Ebenen 
der beiden Büschel kann daher auch als ein Projectionsstrahl dieser