§ 50. Die Regelfläche. 
155 
Ebenso ist die Gleichung der durch den anderen Büschel auf der 
Axe (P/P/) bestimmten Punctreihe 
% i 
W 3 } 
W'4 
«1 , 
u. 2 , 
U-x 
ö ; 
«4 
V; 
v 2 ’ 
< 
+ ^ 
v.;, 
< 
w x ', 
w.;, 
w ä ', 
w A ' 
w x ', 
w 2 , 
w.', 
w x 
*5 > 
v 2 , 
v 3 ; 
w x , 
w 2 , 
w 3 , 
w 4 
Jede der hier auftretenden Determinanten ist die linke Seite der 
Gleichungen des Durchschnittspunctes einer Grundebene eines der 
beiden Ebenenbüschel mit der Axe des anderen. Bezeichnen wir 
daher mit P t '= 0 und P 2 ' = 0 die Gleichungen der Durchschnitts- 
puncte der Ebenen E{ und P 2 ' mit der Axe (P, P 2 ) und mit P, = 0 
und P, = 0 jene der Dnrchschnittspuncte der Ebenen P, und P 2 
mit der Axe (P/P/), so erhalten die vorstehenden Gleichungen die 
Form 
P/+ mlP,/= 0, Pj + AP 2 = 0 . 
Die Puncte dieser beiden Punctreihen, welche demselben Parameter 
werte A entsprechen, liegen in den Ebenen der beiden Ebeneubüschel, 
welche durch eben diesenWert A des Parameters bestimmt werden; somit 
ist die Verbindungslinie der beiden Puncte auch die Schnittlinie dieser 
beiden Ebenen und es erfüllen also die Projectionsstrahlen dieser 
beiden projectivischeu Punctreihen dieselbe Regelschar, wie die Schnitt 
linien der entsprechenden Ebenen der beiden gegebenen Ebeuen- 
büschel. 
Die Coordinaten jeder Ebene, welche durch einen Strahl der 
Regelschar geht, genügen also der Gleichung 
P/P 2 —mP l P 2 = 0. 
Dieselbe stellt die Gleichung der Regelschar in Ebenencoordinaten 
dar, da alle Ebenen, deren Coordinaten diese Gleichung befriedigen, 
die Regelschar bestimmen. Sie ist nach den Ebenencoordinaten vom 
zweiten Grade. 
§ 51. 
Fortsetzung. 
Bei der Erforschung der Eigenschaften der Regelschar ist so 
wohl ihre Gleichung in Punct- als Ebenencoordinaten zu berück 
sichtigen. Doch bei Untersuchungen über blofse Lagebeziehungen, wie 
sie uns jetzt beschäftigen werden, überhebt uns das Gesetz der Reci- 
procität dieser doppelten Betrachtungen und es genügt also denselben 
eine der beiden Gleichungen zu Grunde zu legen. Wir wählen hierzu 
die Gleichung der Regelschar in Punctcoordinaten: 
mP,P/— Pj'P 2 = 0 . 
(1.)