160 IÍ. Abschnitt. Achtes Capitel. Die Erzeugnisse zweier Grundgebilde. 
E x -f- gE 2 — 0, E x -\- mgE 2 — 0 (1.) 
die Gleichungen der Geraden der einen Regelschar, welche durch 
diesen Punct hindurchgeht, und 
E | -[- k E x = 0, E 2 -(- m k E 2 = 0 (2.) 
die der Geraden der anderen Regelschar. 
Da die Berührungsebene jede dieser Geraden enthält, so müssen 
Constante und Ji 2 , ¿a, und g, 2 sich auffinden lassen (§ 10), vermöge 
welcher die Gleichung der Ebene sowohl durch 
(Ei + qE 2 ) + \ {E x -j- mgE 2 ) = 0, 
clls ycli 
fh (-^i + ^E{) -f- f*i (E 2 -f- ml) E 2 '= 0 
darstellbar ist. Da beide Gleichungen dieselbe Ebene repräsentieren, 
so ist 
Afi (E x + qE 2 ) -f- (E\mgE 2 ) 
= f*i + kE x ) -f- (E 2 -f- mkE 2 ). 
Diese Identität kann aber nur bestehen, wenn 
Je^ = : gJi> x -■ 1^2 i A/2 " 1 k j ^ gji/ry —' ktc,, . 
Die Gleichung der Berührungsebene ist somit: 
E x -j- qE 2 — k {E x mgE.,') — 0. (3.) 
Wir können dieselbe leicht umformen, indem wir k und g durch 
die Coordinaten des Berührungspunctes ausdrücken. Bezeichnen 
(Ei), (E 2 ), (E 3 ), (E 4 ) die Substitutionsresultate der Coordinaten des 
Berührungspunctes bezüglich in E x , E 2 , E. A , E i} so ist, weil dieser 
Punct der Durchschnittspunct der beiden Geraden (1.) und (2.) ist 
(Ei) = - g (E 2 ); (E x ) = - k (E x ) 
(Ei) = — mg (E 2 ); (E 2 ) = — mk (E 2 ). 
Durch die Substitution 
(K) 
rn (AV) ’ 
geht daher die Gleichung der Berührungsebene (3.) über in 
m (E 2 ) E x — (E 2 ) E, + (E 2 ) E x — m (E x ) E 2 = 0 . 
№ 
mo k — —A 
Die Ebenencoordinaten dieser Ebene sind daher nach den Coordinaten 
des Berührungspunctes linear und homogen. 
Aus diesem Umstande ergiebt sich unmittelbar eine wichtige 
Folgerung : 
Die Berührungsebenen an die Regelfläche in den Puu- 
ten einer ebenen Curve schneiden sich in einem Puncte. 
Denn da nach der Voraussetzung der Berührungspunct in einer 
Ebene sich bewegt, so genügen seine Coordinaten einer linearen