§ 54. Kegel und Ebenenbüschel der zweiten Ordnung. 
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sich ihr Dnrchschnittspunct mit dieser unbegrenzt dem Berührungs- 
puncte derselben und der Durchschnittspunct mit der zweiten 
Tangente unbegrenzt dem Durchschnittspuncte der beiden fixen 
Tangenten. 
Es gilt aber auch die Umkehrung: Die Projectionsstrahlen 
zweier projectivischer Punctreihen, die in derselben 
Ebene liegen, umhüllen einen Kegelschnitt. 
Wir projicieren die beiden projectivischen Punctreihen und ihre 
Projectionsstrahlen aus einem Puncte 0 des Raumes und zeigen zu 
nächst, dais sich Regelflächen construieren lassen, welche alle diese 
Ebenen berühren. Zu dem Behufe ziehen wir in jeder der beiden 
Ebenen, die eine der beiden Punctreihen projiciert, eine Gerade, jedoch 
so, dais diese beiden Geraden g und g nicht in derselben Ebene liegen. 
Die Punctreihen, welche auf diesen beiden Geraden von den übrigen 
Projectionsebenen projiciert werden, sind projectivisch in Ansehung 
der Puncte, welche durch dieselbe Ebene auf g und g bestimmt werden. 
Die Regelschar, welche durch die Projectionsstrahlen der beiden pro 
jectivischen Punctreihen gebildet wird, berührt somit alle diese Ebenen 
Nach dem Vorhergehenden berühren somit alle diese Ebenen einen 
bestimmten Kegelschnitt k, d. h. jede derselben hat mit ihm zwei 
zusammenfallende Puncte gemeinsam. Projicieren wir daher diesen 
Kegelschnitt von 0 auf die Ebene E der beiden gegebenen projecti 
vischen Punctreihen, so wird die Projection des Kegelschnittes von 
allen Proj ectionsstrahlen dieser beiden Punctreihen berührt. Nun 
wird aber k aus irgend zwei seiner Puncte durch zwei projectivische 
Strahlenbüschel projiciert, die selbst wieder aus 0 durch zwei projec 
tivische Ebenenbüschel projiciert werden. Die Projection von k auf 
E ist daher das Erzeugnis der Projectionen dieser beiden Strahlen 
büschel auf E, also ein Kegelschnitt. Es werden somit die sämtlichen 
Proj ectionsstrahlen der beiden gegebenen projectivischen Punctreihen 
von einem Kegelschnitte berührt. 
§• 54. 
Der Kegel und Ebenenbüschel der zweiten Ordnung. 
1) Sind 
Ei + XE^O, ¿V+ m l E. 2 ' = ü 
die Gleichungen der beiden projectivischen Ebenenbüschel, die eine 
Regelschar erzeugen, so bestimmen die beiden projectivischen Ebenen 
büschel 
E x + A E x '= 0, E 2 + m l E 2 ' = 0 
die zweite Regelschar der Regelfläche. Schneiden sich nun die Axen 
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