164 II. Abschnitt. Achtes Capitel. Die Erzeugnisse zweier Grundgebilde. 
der beiden Ebenenbüscliel, so existieren vier Constante k l} k 2 , -k 3) k 4 , 
welche die Identität liefern 
h 1 E i -f k 2 E 2 -f- k x E x k 2 E 2 = 0 • 
Setzen wir der Kürze halber 
E =z E { -f- IE X , jE'= P7 2 -f- mlE 2 ', 
so ist 
E -f- & 2 E — ÄjK’, -(- ä 2 -EJ 2 -f- ^ (^i -E , /+ mk 2 E 2 ) 
= {lk.j -— Ä:/) (mlk 2 — & 2 ') E 2 , 
folglich ist die Ebene 7¿ 2 .K'= 0 eine Ebene des Büschels {E X E 2 ). 
Ebenso ist 
mk x E -f- k 2 E'— mk x E x -f- k 2 E 2 -j- ml (k x E x -f- k 2 E 2 ) 
= mkj E{ —j— k 2 E.y — ml (k x E x —(— k^E,^) 
= — m (Iky — k x ) E t — (mlk 2 — k 2 ) E 2 . 
Daher ist die Ebene mk x E -{- k 2 E'= 0 eine Ebene des Büschels 
{E x E 2 ). Der Parameter ft dieser Ebene, aufgefafst als Ebene des 
Büschels Aj -f- IE 2 — 0 ist ¡a = jener ft' der Ebene 
k x E k 2 E'= 0 , 
betrachtet als Ebene des Büschels E x -\- m IE 2 — 0, hingegen 
f 1U Á/ ^2 /t’2 
^ = xk t — ki ■’ 
also ist ft' = mfi. Diese beiden Ebenen sind somit zwei entsprechende 
Ebenen der beiden die erste Regelschar erzeugenden Büschel. Ihre 
Schnittlinie ist daher eine Gerade dieser Schar, sie ist aber auch eine 
Gerade der zweiten Schar, denn sie ist die Schnittlinie der beiden 
Ebenen E = E x -f- IE X und E'= E 2 -j- mlE 2 . Wir haben somit 
den Satz: 
Schneiden sich die Axen zweier projectivischen 
Ebenenbüschel, so fallen die beiden durch sie bestimm 
ten Regelscharen in eine zusammen und die Geraden der 
selben gehen durch den Durchschnittspunct der beiden 
Axen. 
Das hierdurch entstehende Gebilde wird ein Kegel zweiter Ord 
nung genannt, der Durchschnittspunct seiner Strahlen die Spitze 
des Kegels. 
Yon ihm gelten offenbar mehrere Sätze, die soeben § 52 von 
der Regelfläche, als deren Abart er sich ergab, bewiesen wurden. 
Eine Gerade, die nicht ein Strahl eines Kegels ist, kann 
denselben in nicht mehr als zwei Puncten schneiden. Die 
sämtlichen Strahlen eines Kegels werden aus irgend zweien 
als Axen durch proj ectivische Ebenenbüschel projiciert.