§ 55. Die perspectivische Lage der einförmigen Grundgebilde. 167 
büscheis gelegt wird, in einem Strahlenbüschel, der zur Punctreihe 
und somit zum ersten Strahlenbüschel projectivisch ist in Ansehung 
jener Strahlen, die in derselben Ebene liegen. Somit erscheinen diese 
Ebenen als die Yerbindungsebenen je zweier entsprechender Strahlen 
zweier concentrischer projectivischer Strahlenbüschel und bilden daher 
einen Ebenenbüschel der zweiten Ordnung. 
§ 55. 
Die perspectivische Lage der einförmigen Grundgebilde. 
Wir gelangten von der Regelschar zum Begriffe des Kegels durch 
die Voraussetzung, dafs die Axen der beiden erzeugenden Ebenen 
büschel sich schneiden, somit beide Ebenenbüschel eine Ebene ge 
meinsam haben. Im Allgemeinen werden in dieser Ebene nicht zwei 
entsprechende Ebeneubüschel zusammenfallen und dieser allgemeinere 
Fall war es, der im Vorhergehenden untersucht wurde. Nehmen wir 
nun speciell an, dafs in den beiden projectivischen Ebenenbüscheln 
zwei entsprechende Ebenen zusammenfallen, so erhalten wir als eine 
Abart des Kegels, die Ebene, Fällt etwa die Ebene E x = 0 mit 
der Ebene E x ' = 0 zusammen’, ist also E l = m'Eso zerfällt die 
Gleichung der Regelfläche 
mE 1 E 2 — E 2 E l ' = 0 
in das Product 
E { (mE 2 — m'E^) = 0 
und somit die Regelfläche in die beiden Ebenen 
Ei — 0 und m E 2 — m E 2 — 0 . 
Es stellen sich also diese beiden Ebenen als das Erzeugnis der beiden 
projectivischen Ebenenbüschel dar. Da nun die Ebene E { — 0 
beiden Ebenenbüscheln gemeinsam ist, so schneiden sich je zwei ent 
sprechende Ebenen derselben auf der Ebene mE 2 — m E 2 = 0, die 
deshalb auch allein als das Erzeugnis der beiden Ebenenbüschel an 
gesehen werden kann. 
Die reciproke Betrachtung lehrt, dafs zwei projectivische Punct- 
reihen, in deren gemeinsamen Puncte zwei entsprechende Puncte 
vereinigt liegen, eine in zwei Puncte zerfallende Regelfläche er 
zeugen. Der eine derselben ist der Schnittpunct der beiden Punct- 
reihen und in dem anderen schneiden sich sämtliche Projections- 
strahlen der beiden Punctreihen. Wir erhalten auf diese Weise die 
beiden reciprokeu Sätze: 
Fallen zwei entsprechende Sind im Durchschnittspuucte 
Ebenen zweier projectivischer zweier projectivischer Punctreihen