§ 56. In einander liegende einförmige projectivische Grundgebilde. 169 
Ebenen- und Strahlenbüscheln auch, dafs sie concentrisch sind. Liegen 
die beiden projectivischen Grundgebilde 
U + AF = 0, U'+ mW— 0 
in einander, so können wir, unbeschadet der Allgemeinheit, stets 
annehmen, dais U' =nV sei und V= pü' -f- qV, wodurch die Gleich 
ung des zweiten Gebildes in 
jj _i_ n ~b mc i l y== 0 
' mp l 
übergeht. 
Die Gleichung des Erzeugnisses der beiden Grundgebilde 
mUr— Ü'V= 0 
erhält durch diese Annahmen die Form: 
mplJ 2 -f- mqUV— n V 2 = 0. 
Den Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen kann mau offenbar in 
das Product zweier nach U und V linearen Factoren zerlegen. Be 
zeichnen wir das Verhältnis y mit x, so erhalten wir dieselben, indem 
wir die Gleichung 
mpx 2 + mqx — n — 0 
in die beiden Wurzelfactoren zerlegen und hierin x — y setzen. Der 
Coefficient von V in jedem der beiden linearen Ausdrücke ist somit 
eine Wurzel der Gleichung 
daher ist 
mpx 2 — mqx — n = 0, 
x = 
mqx n 
mpx 
Somit fällt jedes der beiden Elemente U~\-xV—0 mit seinem ent 
sprechenden in dem Gebilde U + P" = 0 oder U'-\- mW— 0 
zusammen. 
Als Erzeugnis zweier in einander liegender gleichartiger Grund 
gebilde der I. Stufe stellen sich somit zwei Paare zusammenfallender 
entsprechender Elemente der beiden Gebilde dar. Man nennt dieselben 
aus diesem Grunde gemeinschaftliche oder Doppelelemente der 
beiden in einander liegenden Grundgebilde. Da die Bestimmung der 
selben von einer Gleichung zweiten Grades abhängt, so sind beide reell, 
oder fallen in eines zusammen, oder beide sind imaginär, je nachdem 
die Gleichung zwei reelle oder zwei gleiche oder zwei complexe 
Wurzeln besitzt. 
Liegen zwei gleichartige einförmige projectivische 
Grundgebilde in einander, so fallen zwei Paare entspre-