§ 57. Die involutorische Lage. 
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Dies tritt offenbar schon ein, sobald bei zwei in einander liegenden 
projectivischen Grundgebilden ein Paar Elemente existiert, deren 
jedes stets dem anderen entspricht, mag man es als Element des 
einen oder anderen Gebildes betrachten. Denn ist 
aAA'-f- &A -j- cX -f- d = 0 
die Yerwandtschaftsgleichung der beiden Gebilde, so existieren dem 
nach zwei Werte A und X, welche gleichzeitig den beiden Gleichungen 
genügen 
cl A A -J— & A -{- c A -J— d = 0, a A A -j— h A -{— c A d = 0 , 
was nur für h — c möglich ist. 
Also: Liegen zwei projectivische einförmige Grund 
gebilde in einander und entspricht einem bestimmten 
Elemente ihres Trägers stets ein und dasselbe andere, so 
entspricht jedem Elemente desselben, mag es als Element 
irgend welches der beiden Grundgebilde angesehen wer 
den, ein und dasselbe andere Element*). 
Zwei in einander liegende projectivische Grundgebilde, deren 
Elemente derart gepaart erscheinen, werden involutorische Ge 
bilde oder in involutorischer Lage genannt. Die einander ent 
sprechenden Elemente heifsen conjugiert involutorische Ele 
mente. Zur Bestimmung ihrer Doppelelemente erhalten wir die 
Gleichung 
aP + 26A + c = 0. 
Je nachdem dieselbe zwei reelle, gleiche oder imaginäre Wurzeln 
besitzt, sind die Doppelelemente reell, fallen zusammen oder sind 
imaginär. 
Wir können diese Gleichung benutzen, um in der Gleichung der 
Involution die Verhältnisse der drei Gröfsen a, h und c durch die 
Parameter der Doppelelemente auszudrücken. Sind etwa Aj und A 2 
die Wurzeln der obigen Gleichung, so ist 
A, 4- A 2 = — — : A, A 2 = - 
112 a ’ 12 a 
und die Gleichung (1.) geht somit über in 
AA — (A) -j- A 2 ) (A -f- A) -|- Aj A 2 = 0. 
Dieselbe lehrt: Je zwei conj ugierte Elemen te der In volution 
werden durch deren Doppelelemente harmonisch getrennt. 
*) Hieraus folgt, dafs zwei in einander liegende projectivische Punctreihen 
involutorisch liegen, wenn ihre Gegenpuncte zusammenfallen. Und umgekehrt: 
Zwei projectivische Ebenen- oder Strahlenbüschel, wenn die ungleichnamigen 
Elemente ihrer entsprechenden rechten Winkel zusammenfallen. Und umgekehrt.