§ 58. Fortsetzung. 173 
Hieraus ergiebt sich durch Elimination des 2, dais ft und ¡i durch 
die Gleichung Zusammenhängen 
{ab' — ab) ft ft'+ (, ac — ac ') (f 4 4" iO 4" (P' c — bc) — 0. 
Da dieselbe nach ft und ft' linear und symmetrisch ist, so ist sie die 
Gleichung einer Involution. Jedem Werte des k gehört ein Elemente 
paar der Involution zu. Dieses Elementepaar fallt in eines zusammen 
und wirerhalten ein Doppelelement der Involution, sobald die beiden 
Wurzeln der Gleichung einander gleich werden, sobald also k Werte 
annimmt, für welche die Discriminante der Gleichung verschwindet. 
Dieselben sind somit die Wurzeln der nach k quadratischen Gleichung 
(6 + kh'Y — 4 (c kc) {a 4- ka) = 0 
und wir sehen hiermit wieder unsere frühere Bemerkung bestätigt, 
dafs eine Involution zwei Doppelelemente besitzt. 
Anmerkung. Diese Darstellungsweise der Involution zeigt un 
mittelbar die Möglichkeit ihren Begriff zu verallgemeinern. Danach 
wird man unter einer Involution w ten Grades den Inbegriff der Puucte- 
gruppen verstehen, welche sich aus a x n -j- kb x n = 0, —wo a x n und b x n 
Polynome n len Grades nach x sind — ergeben, wenn der Parameter 
k alle Werte von — oo bis -J- oo durchläuft. Die Parameter der 
Doppelelemente der Involution sind wieder die Wurzeln der Discri 
minante des Ausdruckes nach k. 
§ 59. 
Mit den bisher betrachteten Gebilden ist der Kreis der Gebilde 
abgeschlofsen, welche durch zw 7 ei projectivische einförmige Grund 
gebilde erzeugt werden können, wovon uns ein kurzer Rückblick 
überzeugen wird. Von den möglichen Zusammenstellungen zu zweien, 
die wir aus den Grundgebilden: Ebenenbüschel, Strahlenbüschel und 
Punctreihe bilden können, haben wir zunächst das Erzeugnis zweier 
projectivischer Ebenenbüschel behandelt, das sich als identisch mit 
dem Erzeugnis zweier projectivischer Punctreihen erwies. Von den 
anderweitigen Zusammenstellungen bestimmen offenbar nur bei zwei 
coucentrischen projectivischen Strahlenbüschel im Raume, einer Punct 
reihe und einem zu ihr projectivischen Strahlenbüschel, ferner einem 
Ebenenbüschel und einem zu ihm projectivischen Strahlenbüschel, die 
entsprechenden Elemente eine unendliche Anzahl neuer Elemente 
und können somit zur Entstehung neuer Gebilde — aufser Punct und 
Ebene — Veranlassung geben. Als diese Gebilde ergab sich der 
Ebenenbüschel der zweiten Ordnung, während das Erzeugnis eines 
Strahlenbüschels und eines zu ihm projectivischen Ebenenbüschels zu 
einem bekannten ebenen Gebilde, dem Kegelschnitte, führte.