§ 2. Das rechtwinklige Coordinatensystem. 
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Coordiuaten des Punctes berechnen lassen, welche Aufgabe wir nun 
lösen wollen. 
Der Punct sei hierbei auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem 
bezogen und es seien x, y, z seine Coordiuaten. 
Bezeichnen wir mit r die Entfernung des Punctes F vom An- 
fangspuncte 0, mit a, ß, y die Winkel, welche die Richtung OF 
bezüglich mit der positiven Richtung der X-, Y- und Z-Axe bildet*), 
so folgt aus dem Satze des § 2 unmittelbar 
x — r cos a, y — r cos ß, z — r cos y. 
(10 
Diese Gleichungen gelten offenbar, wenn wir darin r positiv annehmen, 
auch mit Rücksicht auf das Vorzeichen. Denn die blofse Anschauung 
lehrt, dafs der Cosinus des Winkels, den die Richtung OP mit einer 
Axe bildet, seinem Zeichen nach immer mit der zu dieser Axe 
parallelen Coordinaten des Punctes P übereinstimmt. 
Für r finden wir unmittelbar seinen Ausdruck durch x, y, z, 
wenn wir seine Projection auf irgend eine Coordinatenebene z. B, 
die (XF)-Ebene zu Hülfe nehmen. Bezeichnen wir diese etwa mit 
Q, SO ist 
r — j/z 2 -f- Q 
woraus sich, wenn für p sein Werth q — j/x 2 -j- y 2 substituiert wird, 
r — YX 2 -j- y l + 
ibt. 
Mit Benutzung dieses Resultates finden wir aus (1.) 
(20 
ergiebt. 
x 
X 
cos cc 
Vx 2 + y* + z* 
(30 
Vx 2 4- y 2 -j- z 2 
z 
cos y — — 
z 
r .. -- 
1 Vx 2 + y 2 z 2 
wo die Wurzel positiv zu nehmen ist. 
Quadrieren wir diese drei Formeln, so ergiebt deren Addition: 
cos a 2 -j- cos ß 2 -f- cos y 2 — 1. 
(40 
Die nämliche Relation findet statt, wenn a, ß, y die Winkel be 
zeichnen, welche eine Ebene mit den drei Coordiuatenebenen ein- 
schliefst. Denn fällen wir vom Anfangspuncte des Coordinatensystems 
eine Senkrechte auf diese Ebene, so sind die Winkel, welche diese 
*) Unter dem Winkel, den die Richtung OP mit der positiven z. B. X-Axe 
bildet, ist bekanntlich die Gröfse der Drehung zu verstehen, die OP in der 
Ebene OPX vollführen mufs, damit auf dem kürzesten Wege die Richtung OP 
mit der positiven Richtung der X-Axe Zusammenfalle,